1. Математика
  2. Найти общее решение однородных

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений: (x^2)*y' =(y^2)+4*x*y+2*x^2

лооол19 лооол19    3   05.10.2019 17:30    0

Ответы
danikpro200201 danikpro200201  09.10.2020 22:07

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Для однородных уравнений берут замену y=ux

y=u'x+u


x^2(u'x+u)=u^2x^2+4ux^2+2x^2\\ u'x+u=u^2+4u+2\\ u'x=u^2+3u+2

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, тогда разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения

\displaystyle \int\frac{du}{u^2+3u+2}=\int\frac{dx}{x}~~\Rightarrow~~\int\frac{du}{(u+1)(u+2)}=\int\frac{dx}{x}~~\Rightarrow~~\\ \\ \\ \Rightarrow~~ \int\frac{u+2-(u+1)}{(u+1)(u+2)}du=\int\frac{dx}{x}~~\Rightarrow~~\int\bigg(\frac{1}{u+1}-\frac{1}{u+2}\bigg)du=\int\frac{dx}{x}\\ \\ \\ \ln|u+1|-\ln|u+2|=\ln |x|+\ln C\\ \\ \ln \bigg|\frac{u+1}{u+2}\bigg|=\ln |Cx|\\ \\ \frac{u+1}{u+2}=Cx


Сделаем обратную замену, подставив u = y/x, получим:

\displaystyle \frac{\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}+2}=Cx~~\Rightarrow~~ \frac{y+x}{y+2x}=Cx~~\Rightarrow~~ \boxed{y=\dfrac{x(1-2Cx)}{Cx-1}}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
iruha07082001 iruha07082001  25.04.2020 08:37
Сложи подобные слагаемые -7/15y+1/3y...
FrankAnDWay FrankAnDWay  25.04.2020 08:38
Реши неравенство и выбери правельный ответ​...
sankasypper2358 sankasypper2358  25.04.2020 08:35
Выполнить действие: а)(-3)3 б) (-0,5)...
натали19852 натали19852  25.04.2020 08:33
Найдите значение выражения: (3,7+9,18 : 3)•2,1- 2,04...
марьяша18 марьяша18  29.05.2019 09:40
На двух складах было6080 кг. угля. когда с1-го склада отгрузили820 кг. угля, а со второго в 4 раза больше,то на втором складе ничего не осталось. сколько кг. угля осталось...
kirilleven kirilleven  29.05.2019 09:40
Велосипедист проехал 3/13 намеченого маршрута.сколько километров проехал велосипедист,если осталось 70км до конца маршрута?...
Nastia200704 Nastia200704  29.05.2019 09:40
Люди кто может умаляю напишите итальянский алфавит(надо в шк выучить а у меня кроме шк знаниях всё глючит...
Anna888Anna1 Anna888Anna1  29.05.2019 09:40
После снижения цен на 25% огурцы слали стоить 9 денежных едениц. сколько стоил 1 кг огурцов до снижения?...
vikbyk vikbyk  29.05.2019 09:40
Придумать смешную сценку на 10 минут, тема новый год в будущем...
Korolinaaa Korolinaaa  29.05.2019 09:40
Мамі і сину 43 роки. мамі і дочці 39 років.сину і дочці 16 років. скільки років мамі?...

Популярные вопросы