Найти координаты точки на одинаковом расстоянии от x + 2y-12 = 0 и x + y-5 = 0, 7x-y + 11 = 0.

Даны прямые x + 2y - 12 = 0, x + y - 5 = 0 и 7x - y + 11 = 0, которые, пересекаясь, образуют треугольник.

Находим вершины его как точки пересечения.

Точка А. x + 2y - 12 = 0               x + 2y - 12 = 0

             7x - y + 11 = 0 |x2 =      14x - 2y + 22 = 0   сложение      

                                                   15x       + 10  = 0

x = -10/15  =  -2/3,    y = (12 - x)/2 = (12 - (-2/3)/2 = 6+(1/3) = 19/3.

Точка В. x + 2y - 12 = 0

              x + y - 5 = 0       вычитание

                     у  - 7   = 0    у = 7,   х = 5 - у = 5 - 7 = -2.

Точка С.  x + y - 5 = 0

              7x - y + 11 = 0    сложение  

               8х      + 6 = 0     х = -6/8 = -0,75,      у = 5 - х = 5 - (-3/4) = 5,75.

По координатам находим длины сторон треугольника.

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) =   1,490711985

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) =   1,767766953

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) =   0,589255651

Полупериметр равен  р =  1,92387 .

Площадь треугольника находим по формуле Герона.

S = √p(p-a)(p-b)(p-c)). Подставив длины сторон, находим S = 0,416667 .

Точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от прямых, являющимися сторонами треугольника, - это центр вписанной окружности. Её радиус равен r = S/p = 0,216578.

Координаты точки пересечения биссектрис треугольника         (центра вписанной окружности) определяются соотношениями:        x0=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),y0=(ay1+by2+cy3)/(a+b+c)      

где a=BC, b=AC, c=AB.      

Подставив значения, получаем координаты искомой точки:

Xro = -0,903144

Yro = 6,209434.