Найдите все натуральные числа, которые в 36 раз больше суммы своих цифр.

Ответы

Arinka2184 15.10.2020 16:08

324, 648.

Пошаговое объяснение:

Пусть в числе k цифр. Максимально возможная сумма цифр - это 9k, тогда само число не больше $36\cdot9k=324k$ . При этом само число не меньше $10^{k-1}$ . Чтобы был хоть какой-то шанс найти k-значное число, удовлетворяющее условию, должно быть выполнено неравенство $324k\geqslant10^{k-1}$ .

Правая часть неравенства растёт гораздо быстрее левой. Подбором находим, что при k = 4 неравенство выполнено, а при k = 5 уже нет. Докажем, что и при всех больших k неравенство не выполнено, по индукции:

База. k = 5: $1620=324\cdot5$ Переход. Пусть для всех 4 < k < n выполнено 324k

. Докажем, что и для k = n это так. Действительно, при n > 4 $10^{n-1}-324n=10\cdot10^{n-2}-324n10\cdot324(n-1)-324n=\\=2916n-32400$

Сумма цифр принимает значения вплоть до 36. Для сокращения перебора вспомним, что если число делится на 9 (а оно делится, так как делится на 36), то и сумма цифр должна делиться. Остаются 4 варианта:

Сумма цифр 9, тогда само число должно быть $36\cdot9=324$ . У него сумма цифр 9, подходит.Сумма цифр 18, само число $36\cdot18=648$ , сумма цифр правильная, подходит.Сумма цифр 27, само число $36\cdot27=972$ , не подходитСумма цифр 36, само число $36\cdot36=1296$ , не подходит.