Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой y=(x-1)^2, прямыми x=-1 и x=2, осью Ox

Хорошо, давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Дано уравнение параболы y = (x - 1)^2, прямые x = -1 и x = 2, а также ось Ox. Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

Шаг 1: Визуализация
Первым делом давайте нарисуем графики всех линий, чтобы лучше представить себе, что это за фигура.

График параболы y = (x - 1)^2 выглядит как узкая "U" форма, открытая вверх и с вершиной в точке (1, 0).
Прямая x = -1 - это вертикальная линия, проходящая через точку (-1, 0).
Прямая x = 2 - это также вертикальная линия, проходящая через точку (2, 0).

Шаг 2: Ограничение фигуры
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нам нужно найти точки их пересечения. То есть, точки, где парабола пересекает прямые x = -1 и x = 2.

Давайте найдем эти точки пересечения:

1) Парабола и прямая x = -1:
Чтобы найти точки пересечения между параболой и прямой, мы должны приравнять уравнение параболы к x = -1:

(x - 1)^2 = -1

Решая это уравнение, мы получаем два значения x: x = 0 и x = 2.

2) Парабола и прямая x = 2:
Точно так же, приравняем уравнение параболы к x = 2:

(x - 1)^2 = 2

Решая это уравнение, мы получаем два значения x: приближенные десятичные дроби около 0.41 и 1.59.

Таким образом, у нас есть четыре точки пересечения: A(0, 1), B(2, 1), C(0.41, 0.49) и D(1.59, 0.49).

Шаг 3: Нахождение площади фигуры
Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем найти площадь фигуры. В основном, нам нужно найти площади двух треугольников и прямоугольника.

1) Площадь первого треугольника ABC:
- Основание этого треугольника - отрезок AC, его длина равна разнице между x-координатами точек A и C: AC = 0.41 - 0 = 0.41.
- Высота этого треугольника - это y-координата точки B: h = 1.
- Площадь треугольника ABC = (0.5) * AC * h.

2) Площадь второго треугольника BCD:
- Основание этого треугольника - отрезок BD, его длина равна разнице между x-координатами точек B и D: BD = 1.59 - 2 = -0.41.
- Высота этого треугольника - это y-координата точки C: h = 0.49.
- Площадь треугольника BCD = (0.5) * |BD| * h, где |BD| - абсолютное значение BD.

3) Площадь прямоугольника ABDC:
- Основание этого прямоугольника - отрезок AB, его длина равна разнице между x-координатами точек A и B: AB = 2 - 0 = 2.
- Высота этого прямоугольника - это y-координата точки A: h = 1.
- Площадь прямоугольника ABDC = AB * h.

Наконец, мы можем сложить площади всех трех фигур, чтобы найти общую площадь фигуры:

Площадь фигуры = площадь треугольника ABC + площадь треугольника BCD + площадь прямоугольника ABDC.

Я надеюсь, что этот ответ был полезен и понятен. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!