1. Математика
  2. Найдите наименьшее значение

Найдите наименьшее значение функции y=(x^2-39x+39)*e^(2-x) на отрезке [ 0; 6]. зарание .

unicorn337228 unicorn337228    2   25.06.2019 22:30    3

Ответы
арина1138 арина1138  02.10.2020 11:40
Решение:

Сначала найдем производную функции:

    \displaystyle \Big ( y \Big )' = \Big ( (x^2-39x+39) \cdot e^{2-x} \Big ) ' = \\\\\\= \Big ( x^2-39x+39 \Big ) ' \cdot e^{2-x} + \Big (e^{2-x} \Big ) ' \cdot (x^2-39x+39) = \\\\\\= \Big ( 2x - 39 \Big ) \cdot e^{2-x} +\Big ( (-1) \cdot e^{2-x} \Big ) \cdot (x^2 - 39x + 39) = \\\\\\= e^{2-x} \cdot \Big ( (2x-39)-(x^2-39x+39) \Big ) = \\\\\\= e^{2-x} \cdot (-x^2 + 41x - 78)

Также заметим, что функция, как и производная, определена для всех значений x (иначе говоря, x \in \mathbb R). Теперь, чтобы найти критические точки производной, приравняем ее к нолю:

    e^{2-x} \cdot (-x^2 + 41x - 78) = 0

Сразу же заметим, что e^{2-x} 0, поэтому обе части можно разделить на данное выражение:

    -x^2 + 41x - 78 = 0 \;\;\; \Big | \cdot (-1) \\\\x^2 - 41x + 78 = 0

Дальше воспользуемся теоремой Виета:

    \displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=41} \atop {x_1 \cdot x_2=78}} \right. ; \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \left \{ {{x_1=2} \atop {x_2=39}} \right.

Полученные две точки выставим на координатной прямой, а потом на получившихся трех промежутках расставим знаки производной:

          - - -                 + + +                    - - -

    ________\Big ( \; 2 \; \Big )________\Big ( \; 39 \; \Big )________\rightarrow x

Можно сделать вывод, что x=2 - точка минимума функции (в силу того, что знак меняется с «-» на «+»), а x=39 - точка максимума (так как происходит смена знака с «+» на «-»).

Дальше остается заметить, что единственная точка минимума функции (как мы ранее получили, x=2) располагается на заданном в условии отрезке \Big [ 0; 6 \Big ].

Эта точка также будет соответствовать ответу, так как на промежутке [0;2] функция убывает, а на промежутке [2;6] - возрастает:

                  ↘                    ↗

     \Big ( \; 0 \; \Big )_______\Big ( \; 2 \; \Big )_______\Big ( \; 6 \; \Big )

Точку, соответствующую ответу, мы нашли. Осталось только определить значение функции в этой точке:

    y(2) = (2^2-39 \cdot 2+39) \cdot e^{2-2} = (4 - 39) \cdot 1 = \underbrace { \; -35 \; } _{\text{min} \;y}

Задача решена!

ответ: - 35 .
Найдите наименьшее значение функции y=(x^2-39x+39)*e^(2-x) на отрезке [ 0; 6]. зарание .
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
givlinkovpaschozszti givlinkovpaschozszti  03.03.2019 05:40
Вмагазине было продано три куска ткани: ситец, хлопок и шелк. сумма, вырученная за ситец, составила 0,3, а стоимость хлопка - 0,25 стоимости всей ткани. остальная сумма...
katgri83 katgri83  03.03.2019 05:40
Тыква весит 2кг и еще половину такой же тыквы.сколько весят 2 такие тыквы?...
Nadachansky Nadachansky  03.03.2019 05:40
Найди правило по которому составлен рад чисел 45,36,28,21, , ,6...
Kek346582 Kek346582  03.03.2019 05:40
4/2х-9 0 4/5х+8 0 люди решите ! 20 !...
Grisha222 Grisha222  03.03.2019 05:40
В9 контейнерах на 12ц свеклы меньше, чем в 14 таких же контейнерах. сколько контейнеров потребуется для 6т свеклы? решить...
елена1229 елена1229  03.03.2019 05:40
1) расстояние между точками луганск и россошь равно 185 км.какое расстояние между этими на карте, если масштаб карты 1: 5000000? 2)расстояние между охотск и якутск на...
olyabat olyabat  03.03.2019 05:40
Найти интеграл (расписать подробно) ln(x^2+1)dx...
Томара85 Томара85  03.03.2019 05:40
Периметр прямоуголника 84см, его длина 26 см. найди площадь прямоугольника....
tcacencoanastap08j8v tcacencoanastap08j8v  03.03.2019 05:40
За три дня автомобиль проехал 910 км. при этом в каждый следующий день он проезжал в два раза больше, чем в предыдущий. какое расстояние проезжал автомобиль в каждый из...
Ilonka2734 Ilonka2734  03.03.2019 05:40
Найдите площадь круга, если длина 1/3 окружности этого круга равна 12,4 см. число пи округлите до десятых....

Популярные вопросы