Найдите критические точки функции:

а) f(x) = x³ + 6x²;

б) g(x) = 3x⁴ – 4x³ – 12x²+ 7.

Дана функция y = x³+ x² – 5x – 3.

Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) точки экстремума.

Составьте уравнение касательной к графику функции

y = 2x – x², параллельной оси абсцисс.
Задания в работе выполнить подробно: с формулами; нумеруя шаги алгоритмов с матшекой)

Давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди.

а) Для нахождения критических точек функции f(x) = x³ + 6x², нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 3x² + 12x

Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0:
3x² + 12x = 0

Шаг 3: По формуле дискриминанта найдем значения x:
D = (12)² - 4 * 3 * 0 = 144
x1 = (-12 + sqrt(144)) / (2 * 3) = (-12 + 12) / 6 = 0
x2 = (-12 - sqrt(144)) / (2 * 3) = (-12 - 12) / 6 = -4

Таким образом, критические точки функции f(x) = x³ + 6x² находятся в точках x = 0 и x = -4.

б) Для нахождения критических точек функции g(x) = 3x⁴ – 4x³ – 12x² + 7, нужно опять же найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Шаг 1: Найдем производную функции g(x):
g'(x) = 12x³ - 12x² - 24x

Шаг 2: Решим уравнение g'(x) = 0:
12x³ - 12x² - 24x = 0

Шаг 3: Вынесем общий множитель:
12x(x² - x - 2) = 0

Шаг 4: Решим получившееся уравнение:
x₁ = 0,
x² - x - 2 = 0

Шаг 5: Решим квадратное уравнение:
D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 - (-8) = 9
x₂ = (1 + sqrt(9)) / 2 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2
x₃ = (1 - sqrt(9)) / 2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, критические точки функции g(x) = 3x⁴ – 4x³ – 12x² + 7 находятся в точках x = 0, x = 2 и x = -1.

Дана функция y = x³ + x² – 5x – 3.

а) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной функции.

Шаг 1: Найдем производную функции y:
y' = 3x² + 2x - 5

Шаг 2: Решим уравнение y' = 0 для определения критических точек:
3x² + 2x - 5 = 0

Шаг 3: Решим получившееся квадратное уравнение:
D = 2² - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64
x₁ = (-2 + sqrt(64)) / (2 * 3) = (-2 + 8) / 6 = 6 / 6 = 1
x₂ = (-2 - sqrt(64)) / (2 * 3) = (-2 - 8) / 6 = -10 / 6 = -5/3

Шаг 4: Теперь с помощью промежуточных значений найдем знаки производной и определим промежутки возрастания и убывания функции:

Подставим в производную произвольные значения из каждого интервала:
y'(-∞) = 3 * (-∞)² + 2 * (-∞) - 5 = +∞
y'(-5/3) = 3 * (-5/3)² + 2 * (-5/3) - 5 = 0
y'(1) = 3 * (1)² + 2 * (1) - 5 = 0
y'(∞) = 3 * (∞)² + 2 * (∞) - 5 = +∞

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, -5/3) и убывает на интервале (-5/3, 1).

б) Чтобы найти точки экстремума функции, нужно проанализировать вторую производную функции.

Шаг 1: Найдем вторую производную функции y:
y'' = 6x + 2

Шаг 2: Решим уравнение y'' = 0 для определения точек экстремума:
6x + 2 = 0
6x = -2
x = -2 / 6 = -1/3

Таким образом, точка экстремума функции y = x³ + x² – 5x – 3 находится в точке x = -1/3.

Для составления уравнения касательной к графику функции y = 2x – x², параллельной оси абсцисс, нам понадобятся следующие шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции y:
y' = 2 - 2x

Шаг 2: Уравнение касательной имеет вид y = kx + b, где k - наклон касательной и b - точка пересечения с осью ординат.

Так как касательная параллельна оси абсцисс, у нее наклон k = 0.

Шаг 3: Подставим найденное значение k в уравнение для определения точки пересечения с осью ординат:
y = 0x + b
y = b

Точка пересечения с осью ординат - это точка, где x = 0, поэтому уравнение принимает вид:
0 = b

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 2x – x², параллельной оси абсцисс, имеет вид y = 0x + 0 или просто y = 0.

Надеюсь, это решение понятно и поможет вам выполнить задание подробно и с математическим пояснением.