Найдите экстремумы функции двух переменных $z=-8x^3+6xy^2+y^3+9y^2$

Ответы

Арианна1902 09.01.2024 14:52

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом:

Шаг 1: Найдите частные производные функции по каждой переменной.
Для этого возьмем производные функции z по переменным x и y:
$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = -24x^2 + 6y^2$
$\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 12xy + 3y^2 + 18y$

Шаг 2: Решите систему уравнений, приравняв обе частные производные к нулю.
То есть мы должны решить уравнения:
$-24x^2 + 6y^2 = 0$
$12xy + 3y^2 + 18y = 0$

Шаг 3: Решите первое уравнение относительно переменной x.
$-24x^2 + 6y^2 = 0$
$6y^2 = 24x^2$
$x^2 = \frac{{y^2}}{{4}}$
$x = \pm \frac{{y}}{{2}}$

Шаг 4: Подставьте найденное значение x во второе уравнение и решите его относительно y.
$12xy + 3y^2 + 18y = 0$
$12 \left( \pm \frac{{y}}{{2}} \right) y + 3y^2 + 18y = 0$
$\pm 6y^2 + 3y^2 + 18y = 0$
$9y^2 + 18y = 0$
$9y(y + 2) = 0$

Итак, у нас есть два возможных значения y: y = 0 и y = -2.

Для y = 0:
$x = \pm \frac{{y}}{{2}} = \pm 0 = 0$

Для y = -2:
$x = \pm \frac{{y}}{{2}} = \pm \frac{{-2}}{{2}} = \pm 1$

Шаг 5: Найдите значения z для каждой комбинации значений x и y.
Подставим найденные значения x и y обратно в изначальную функцию z:
1) При x = 0 и y = 0:
$z = -8(0)^3 + 6(0)(0)^2 + (0)^3 + 9(0)^2 = 0$

2) При x = 1 и y = -2:
$z = -8(1)^3 + 6(1)(-2)^2 + (-2)^3 + 9(-2)^2 = -8 - 24 - 8 + 72 = 32$

3) При x = -1 и y = -2:
$z = -8(-1)^3 + 6(-1)(-2)^2 + (-2)^3 + 9(-2)^2 = 8 + 24 - 8 + 72 = 96$

Итак, мы получили три значения функции z: 0, 32 и 96. Таким образом, экстремумы функции z равны 0, 32 и 96.

Обоснование: Мы нашли значения x и y, при которых частные производные функции равны нулю. Затем мы подставили эти значения обратно в исходную функцию и получили три разных значения z. Это говорит о том, что у функции z имеется три экстремума в точках (0, 0), (1, -2) и (-1, -2).

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика