Найдите частное решение дифференциального уравнения первого порядка: a) 2(x + 1)dy = ydx, если у = 2 при х = 1; b)y' - 2у -4= 0, если у = 2 при х = 0

Добрый день! Давайте решим поставленные задачи последовательно.

a) Первое дифференциальное уравнение дано в виде 2(x + 1)dy = ydx. Чтобы найти его частное решение, нужно разделить обе части уравнения на y и x + 1:

2dy/dx = y/(x + 1).

Теперь давайте разделим переменные. Перенесем все y-содержащие части в левую часть уравнения, а все x-содержащие части - в правую:

(1/y)dy = (1/(x + 1))dx.

Теперь проинтегрируем обе части уравнения по их переменным:

∫(1/y)dy = ∫(1/(x + 1))dx.

Интеграл ∫(1/y)dy можно найти, заменив его на логарифмическую функцию:

ln|y| = ln|x + 1| + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

Теперь применим экспоненту ко всему уравнению:

|y| = |x + 1| * e^C1.

Воспользуемся свойством экспоненты: |a * b| = |a| * |b|, где a и b - любые числа. Это позволяет переписать уравнение следующим образом:

|y| = e^C1 * |x + 1|.

Обратите внимание, что e^C1 - это некоторая положительная константа, которую мы можем заменить на константу C2:

|y| = C2 * |x + 1|.

Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения. Однако нам нужно найти его частное решение при у = 2 и x = 1. Подставим эти значения в уравнение и найдем значение константы C2:

|2| = C2 * |1 + 1|.

2 = C2 * 2.

Сокращаем 2-ки:

1 = C2.

Теперь у нас есть итоговое частное решение:

|y| = |x + 1|.

b) Второе дифференциальное уравнение дано в виде y' - 2у - 4 = 0. Чтобы найти его частное решение, избавимся от константы и переменных в правой части уравнения:

y' = 2у + 4.

Перенесем все y-содержащие части в левую часть уравнения, а все x-содержащие части - в правую:

y' - 2у = 4.

Теперь решим этот линейный неоднородный дифференциальный оператор. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения вида y' - 2у = 0.

Выполнив эту операцию, получим yh = Ce^(2x).

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Вначале предположим, что частное решение имеет вид yp = A.

Подставим этот вид в неоднородное уравнение и найдем значение A:

A' - 2A = 4.

Так как A - это константа, то A' = 0:

-2A = 4.

Делим обе части на -2:

А = -2.

Теперь у нас есть итоговое значение частного решения: yp = -2.

Наконец, общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y = yh + yp = Ce^(2x) - 2.