Написать уравнение касательной и нормально к кривой у=tg2x в начале координат ()

Чтобы найти уравнения касательной и нормали к кривой y=tg2x в начале координат (0,0), мы должны использовать знание о производных.

Для начала, возьмем производную функции y=tg2x. Для этого мы можем использовать правило дифференцирования для тангенса. Правило гласит, что если у нас есть функция f(x)=tg(x), то производная этой функции равна f'(x) = sec^2(x). Также, у нас в исходном уравнении присутствует функция g(x) = 2x, которая умножает наше уравнение. Правило дифференцирования г(x) = ax, где а - константа, гласит, что производная этой функции равна g'(x) = a.

Теперь, чтобы найти производную y=tg2x, мы можем использовать правило дифференцирования для композиции функций. Правило гласит, что если у нас есть функция f(g(x)), то производная этой функции равна f'(g(x)) * g'(x). Применяя это правило к нашему уравнению, получаем:

y' = (sec^2(2x)) * 2

Simplified version: y' = 2sec^2(2x)

Теперь мы имеем производную уравнения y=tg2x, которая представляет скорость изменения кривой в каждой точке.

Для нахождения уравнения касательной, мы знаем, что касательная к кривой задается уравнением вида y = mx + c, где m - коэффициент наклона касательной, а c - значение у, соответствующее точке пересечения касательной с осью ординат.

Для нахождения коэффициента наклона касательной m, мы можем подставить x=0 в производную функции y' = 2sec^2(2x):

y'(0) = 2sec^2(2*0)
y'(0) = 2sec^2(0)
y'(0) = 2 * 1
y'(0) = 2

Таким образом, коэффициент наклона для касательной равен 2.

Теперь мы можем использовать коэффициент наклона и точку (0,0) для нахождения значения c в уравнении касательной:

0 = 2 * 0 + c
0 = c

Получаем, что c = 0.

Таким образом, уравнение касательной к кривой y=tg2x в точке (0,0) имеет вид y = 2x.

Чтобы найти уравнение нормали, мы знаем, что нормальная к кривой задается уравнением вида y = -1/m * x + c, где m - коэффициент наклона нормали (обратное значение коэффициента наклона касательной), а c - значение у, соответствующее точке пересечения нормали с осью ординат.

Так как коэффициент наклона касательной равен 2, то коэффициент наклона нормали будет равен -1/2.

Для нахождения значения c в уравнении нормали, мы можем использовать точку (0,0):

0 = -1/2 * 0 + c
0 = c

Получаем, что c = 0.

Таким образом, уравнение нормали к кривой y=tg2x в точке (0,0) имеет вид y = -1/2 * x.

В результате, мы получаем следующие уравнения:
- уравнение касательной: y = 2x
- уравнение нормали: y = -1/2 * x