Наименьшее значение функции f(x)=2x^3+9x^2-24x+20 на отрезке [0; 2]

ƒ (x) = 2x³ + 9x² - 24x + 20

min ƒ (x) - ?

[0 ; 2]

• Для нахождения минимального значения функции найдём все точки экстремума, принадлежащие данному отрезку, для этого найдём вторую производную и приравняем её к нулю:

ƒ’ (x) = 6x² + 18x - 24

6x² + 18x - 24 = 0 / : 6

x² + 3x - 4 = 0

По теореме, обратной теореме Виета:

x₁ = -4 ∉ [0 ; 2]

x₂ = 1 ∈ [0 ; 2]

• Поверяем все точки экстремума:

ƒ (0) = 2 • 0³ + 9 • 0² - 24 • 0 + 20 = 20

ƒ (1) = 2 • 1³ + 9 • 1² - 24 • 1 + 20 = 2 + 9 - 24 + 20 = 7

ƒ (2) = 2 • 2³ + 9 • 2² - 24 • 2 + 20 = 2 • 8 + 9 • 4 - 48 + 20 = 16 + 36 - 48 + 20 = 24

• Итак, мы видим, что:

min ƒ (x) = ƒ (1) = 7

[0 ; 2]

min ƒ (x) = ƒ (1) = 7

[0 ; 2]