На эллипсе x ^ 2 + 9y ^ 2 = 9 найти точки, наиболее удаленные от прямой 4x + 9y = 16

Давайте разберем эту задачу по шагам:

Шаг 1: Перепишем уравнение прямой 4x + 9y = 16 в виде y = mx + c, где m - коэффициент наклона прямой, а c - свободный член. Для этого выразим y:

4x + 9y = 16
9y = -4x + 16
y = (-4/9)x + 16/9

Итак, уравнение прямой имеет вид y = (-4/9)x + 16/9.

Шаг 2: Теперь нам нужно найти точки на эллипсе, которые наиболее удалены от прямой. Для этого мы будем искать точки пересечения эллипса и перпендикуляров к прямой, проходящих через фокусы эллипса.

Шаг 3: Найдем фокусы эллипса. Формула для нахождения фокусов эллипса вида x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, где a и b - полуоси эллипса, задается как (±c, 0), где c = sqrt(a^2 - b^2). В нашем случае a^2 = 9 и b^2 = 1, поэтому c^2 = 9 - 1 = 8, и c = sqrt(8) = 2sqrt(2). Таким образом, фокусы возле оси x будут иметь координаты (±2sqrt(2), 0).

Шаг 4: Так как прямая 4x + 9y = 16 перпендикулярна оси x, перпендикуляр к прямой, проходящий через фокус ф1, будет параллелен оси y. Поэтому уравнение перпендикуляра будет иметь вид x = ±2sqrt(2).

Шаг 5: Решим систему уравнений, состоящую из уравнения эллипса и перпендикуляра, чтобы найти точки пересечения. Подставим x = 2sqrt(2) в уравнение эллипса:

(2sqrt(2))^2 + 9y^2 = 9
8 + 9y^2 = 9
9y^2 = 1
y^2 = 1/9
y = ±sqrt(1/9) = ±1/3

Таким образом, когда x = 2sqrt(2), получаем две точки пересечения: (2sqrt(2), 1/3) и (2sqrt(2), -1/3).

Аналогичным образом мы можем найти две точки пересечения, когда x = -2sqrt(2): (-2sqrt(2), 1/3) и (-2sqrt(2), -1/3).

Итак, искомые точки, наиболее удаленные от прямой, в координатной плоскости - (2sqrt(2), 1/3), (2sqrt(2), -1/3), (-2sqrt(2), 1/3) и (-2sqrt(2), -1/3).