На доске записаны несколько натуральных чисел. Каждую минуту Вася выбирает какие-то два из них (a и b) и заменяет их на а-2 и b+1. Докажите, что рано или поздно на доске появится отрицательное число.

Добрый день! Давайте рассмотрим данный вопрос.

Предположим, что на данной доске числа неотрицательны.

Для начала, давайте разберемся, что происходит с числами a и b после замены каждую минуту.

Когда мы заменяем числа a и b на a-2 и b+1 соответственно, замена приводит к следующим изменениям:
- число a уменьшается на 2;
- число b увеличивается на 1.

Далее, рассмотрим два случая:

1. Если на доске нет числа, которое может быть представлено в виде a-2+n, где n - некоторое неотрицательное число, то это означает, что на доске нет числа, которое можно уменьшить на 2. Следовательно, число a на доске не может быть больше или равно 2. Если a=1, то замена приводит к отрицательному числу (1-2=-1). Если a=0, то замена приводит к отрицательному числу (-2). Таким образом, в этом случае на доске появится отрицательное число.

2. Если на доске есть число, которое можно представить в виде a-2+n, где n - неотрицательное число, то такое число не является отрицательным. Однако, независимо от значения b, число b+1 всегда является положительным числом или нулем. Таким образом, при замене чисел a и b, сумма a-2 и b+1 всегда будет меньше, чем сумма a и b.

Поскольку мы каждую минуту заменяем два числа, сумма всех чисел на доске уменьшается после каждой замены, или остается неизменной. Так как исходно числа на доске были натуральными, то сумма чисел на доске будет ограничена снизу нулем.

В первом случае (когда на доске нет числа, которое можно уменьшить на 2), мы знаем, что после некоторой замены на доске появится отрицательное число.

Во втором случае (когда на доске есть число, которое можно уменьшить на 2), сумма чисел на доске будет продолжать уменьшаться после каждой замены, и рано или поздно эта сумма станет отрицательной.

Таким образом, мы доказали, что рано или поздно на доске появится отрицательное число.

Если у Вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, спрашивайте!