Мистер фокс и мистер форд играют в следующую игру. сначала мистер фокс выбирает натуральное число к большее 600 , но меньшее 700 . затем мистер фокс выписывает на доску какой-то делитель числа к , после чего мистер форд выписывает на доску еще один делитель числа к , и так далее. выписанные на доске числа не могут повторяться, проигрывает тот, кто не может выписать очередное число. какое наибольшее число к может выписать мистер фокс, чтобы обязательно выиграть в эту игру.

Т.к. первый ход у Фокса, а числа на доске не могут повторяться, то Фокс победит, если число делителей числа нечетно.

Лемма: натуральное число имеет нечетное число делителей тогда и только тогда, когда это число полный квадрат.

Док-во: =>) Пусть а не является полным квадратом. Пусть b - делитель a => существует единственное c такое, что a=bc. При этом с≠b (иначе a - полный квадрат). А значит для любого делителя числа a найдется парный ему делитель => число делителей числа a четно.

<=) Если a - полный квадрат, то существует единственное c такое, что a=c*с. Для любого же другого делителя b числа a найдется парный ему и не равный делитель (иначе получим a=c*c=b*b=>a=b - противоречие). А значит число делителей нечетно.

Доказано.

Значит задача сводится к нахождению максимального полного квадрата на промежутке (600; 700).

700<729=27*27

Значит имеет смысл проверить 26: 26*26=676 - подходит.

ответ: 676