Математический анализ, двойные интегралы может кто то решит

Ответы

нас86 23.01.2022 22:00

а) $\displaystyle V= \iiint\limits_{\Omega}dxdydz$ . В нашем случае меняется от до , меняется от до , а заключен между и $\sqrt{x^2+y^2}$ . По сути $\Omega$ можно представлять себе как множество отрезков высоты $\sqrt{x^2+y^2}$ выпущенных из точки (x,y,0) , причем эти точки берутся из прямоугольника $[0,2]\times [0,3]$ .

Итак, $\displaystyle V = \int\limits_{0}^{3}\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{x^2+y^2}dzdydx = \int\limits_{0}^{3}\int\limits_{0}^{2}x^2+y^2 dydx = \int\limits_{0}^{3}2x^2+8/3dx=26$ .

б) Здесь рассуждения такие же, только $\Omega$ представляет собой не прямоугольник, а область, ограниченную двумя <<перпендикулярными>> параболами на плоскости . Величина будет меняться от до минимального значения на $\Omega$ , что соответствует максимуму x^2+y^2 на $\Omega$ -- то есть макисмальному удалению от начала координат. Это происходит в точке пересечения парабол -- точке (1,1) (а начало координат не подходит). Значит, $12-x^2-y^2\geq z \geq 10$ . Итого: $\displaystyle V = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}\int\limits_{10}^{12-x^2-y^2}dzdydx = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}2-x^2-y^2 dydx =52/105$ .

в) Здесь удобно сделать замену координат: $x=\rho\cos \theta,\; y=\rho\sin\theta,\; z=z$ , тогда поверхности: $z = \rho,\; z= 0$ . Якобиан $J = \rho$ , имеем: $\displaystyle V = \int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\rho}\rho dzd\theta d\rho = \int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{2\pi}\rho^2 d\theta d\rho = 2\pi\int\limits_{0}^{a}\rho^2d\rho = \dfrac{2\pi a^3}{3}$ .