Lim(x стремится к 0) (ln^2(1+3x))/(x^3+7x^2)

так как числитель -->0  и знаменатель ---> 0 при х --->0 то используя правило ЛОПИТАЛЯ 

вычислим производную числителя и знаменателя

производная числителя = 6*ln(1+3x)/(1+3x)

производная знаменателя  = 3*x^2+14x

мы получили 

      6*ln(1+3x)

(1+3x)*(3*x^2+14x)

так как числитель -->0  и знаменатель ---> 0 при х --->0 то используя правило ЛОПИТАЛЯ повторно 

производная числителя = 18/(1+3x)

производная знаменателя  = 27x^2+90x+14

мы получили 

           18

(1+3x)*(27x^2+90x+14)