Контрольная работа по теме: «Производная» 1 вариант
1.Найти производную:
а) 5х⁴+3х+7,
б) 3/х-2x+10,
B) sinx-tgx
2.Найти значение производной функции в данной точке:
f(x) =5x²=-x+3, X0=2
З.Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой Хо:
f(x)=3x²-5x, xo=1
4.Точка движется прямолинейно по закону:
х(t)=5t-0.5t²
Найти скорость в момент времени t , через сколько секунд точка остановится?​

1. Найти производную:

а) Для нахождения производной функции 5х⁴+3х+7 необходимо применить правило дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности.

Применим правило дифференцирования степенной функции xⁿ, где n - степень:

f(x) = 5х⁴ + 3х + 7
f'(x) = (5 * 4)х^(4-1) + 3 + 0
= 20х³ + 3

Ответ: f'(x) = 20х³ + 3

б) Для нахождения производной функции 3/х-2x+10 также применим правило дифференцирования из предыдущего примера:

f(x) = 3/х - 2x + 10
f'(x) = -3/х² - 2 + 0
= -3/х² - 2

Ответ: f'(x) = -3/х² - 2

B) Для нахождения производной функции sinx - tgx воспользуемся правилами дифференцирования элементарных функций:

f(x) = sinx - tgx
f'(x) = cosx - (1/cos²x)
= cosx - 1/cos²x

Ответ: f'(x) = cosx - 1/cos²x

2. Найти значение производной функции в данной точке:

f(x) = 5x² - x + 3, x₀ = 2

Для нахождения значения производной в данной точке подставляем значение x₀ в найденную производную:

f'(x) = 20x + 3
f'(x₀) = 20 * 2 + 3
= 40 + 3
= 43

Ответ: f'(x₀) = 43

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

f(x) = 3x² - 5x, x₀ = 1

Для нахождения уравнения касательной к графику функции в данной точке требуется найти значение производной функции в данной точке и координаты точки. Затем используем формулу для уравнения касательной:

Уравнение наклонной прямой (касательной) вида y - y₀ = k(x - x₀), где
k - значение производной функции в данной точке,
(x₀, y₀) - координаты точки, в которой требуется найти касательную.

f(x) = 3x² - 5x, x₀ = 1

f'(x) = 6x - 5
f'(x₀) = 6 * 1 - 5
= 6 - 5
= 1

Точка (1, f(1)) имеет координаты (1, -2)

Уравнение касательной:

y - (-2) = 1(x - 1)
y + 2 = x - 1
y = x - 3

Ответ: Уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x² - 5x в точке с абсциссой x₀ = 1: y = x - 3

4. Точка движется прямолинейно по закону: x(t) = 5t - 0.5t²

Для нахождения скорости в момент времени t необходимо найти производную функции x(t) по времени:

v(t) = x'(t)
= (5 - 2 * 0.5t) * dt/dt
= 5 - t

Точка остановится, когда скорость станет равной нулю:

5 - t = 0
t = 5

Ответ: Через 5 секунд точка остановится. Скорость в момент времени t равна v(t) = 5 - t.