Каждая клетка доски 4 × 4 раскрашена в один из n цветов. причем все прямоугольники 1 × 2 раскрашены по-разному. при каком наименьшем n такое возможно?

По-моему, при значении N=2, но я не уверена. 

Для решения этой задачи, школьнику необходимо разобраться в основных понятиях комбинаторики и правилах решения подобных задач.

1. Рассмотрим доску 4x4 клетки:
a b c d
1 [] [] [] []
2 [] [] [] []
3 [] [] [] []
4 [] [] [] []

2. Заметим, что у нас есть два типа прямоугольников 1x2, которые можно размещать на данной доске: вертикальные и горизонтальные.

- Вертикальные прямоугольники занимают две соседние клетки, например, (a1, a2), (c1, c2), (a2, a3), (c2, c3) и т.д. Всего у нас может быть 8 таких прямоугольников.
- Горизонтальные прямоугольники также занимают две соседние клетки, но расположены друг над другом, например, (a1, b1), (c1, d1), (a3, b3), (c3, d3) и т.д. Существует также 8 таких прямоугольников на доске 4x4.

3. Теперь посмотрим, какое максимальное количество различных прямоугольников 1x2 мы можем получить на данной доске. Для этого нам необходимо выбрать различные цвета для каждого прямоугольника.

- Вертикальные прямоугольники: у нас есть 8 вертикальных прямоугольников, и каждый из них может быть покрашен в любой из n цветов.
- Горизонтальные прямоугольники: здесь также у нас есть 8 горизонтальных прямоугольников, которые могут быть покрашены в любой из n цветов.

4. Теперь мы можем посчитать общее количество различных прямоугольников на доске 4x4. Из вышеуказанных пунктов, мы знаем, что у нас есть 8 вертикальных и 8 горизонтальных прямоугольников. Таким образом, общее количество прямоугольников равно 8 + 8 = 16.

5. Нам нужно выбрать такое наименьшее число n, которое позволит нам раскрасить все 16 прямоугольников в разные цвета.

- Если n = 1, тогда у нас будет всего один цвет. В этом случае, мы не сможем покрасить все прямоугольники в разные цвета, так как цветов будет недостаточно.
- Если n = 2, тогда у нас будет два цвета. В этом случае, мы тоже не сможем покрасить все прямоугольники в разные цвета, так как цветов слишком мало.

6. Ответ: наименьшее возможное значение n для покраски всех прямоугольников 1x2 на доске 4x4, таким образом, равно 3.

a b c d
1 1 2 1 2
2 2 1 2 1
3 3 3 1 2
4 1 3 2 3

На данной доске, 16 прямоугольников покрашены в 16 разных цветов, и мы не можем использовать меньшее количество цветов, чтобы покрасить все прямоугольники в разные цвета.