Исследуйте функцию
Y=9x^3-3x

Дана функция y = х³- 9x.

1) Область определения х ∈ (-∞, +∞).

2) Разложим её на множители: у = х(х - 3)(х + 3).

Отсюда получаем 3 точки пересечения оси Ох:

х1 = 0,  х2 = 3,  х3 = -3.

3) Точка пересечения оси Оу: х = 0.

4) Поведение на бесконечности.

У(-∞) = -∞

У(+∞) = +∞

5) Исследование на четность.

Y(-х) = - х³ + 9х = -(х³ - 9х).

Функция  нечетная.

6) Монотонность.

Производная функции

Y' = 3x²- 9 = 3(х² - 3).

Точки экстремумов

х1 = √3     х2 = -√3.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х =       -2     -√3     0     √3         2

y' =       3       0     -9       0    3.

В точке х = -√3 максимум, у = 6√3,

в точке х = √3 минимум, у = -6√3.

Возрастает на промежутках (-∞, -√3) ∪ (√3, +∞)

Убывает на промежутке (-√3, √3).

7) Точки перегиба - нули второй производной.

Y" = 6x = 0

Х= 0. Это точка перегиба.

Выпуклая:  х ∈ (-∞; 0]

Вогнутая: х ∈ (0; +∞).

Пошаговое объяснение: