Исследуйте функцию = 0,25∙x^4−27 на возрастание (убывание) и экстремумы.

Добрый день, я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам решить эту задачу. Давайте пошагово разберемся в решении.

Для начала, чтобы исследовать функцию на возрастание или убывание, нужно найти ее производную. Производная функции показывает, как меняется значение функции при изменении аргумента.

Пусть дана функция f(x) = 0,25∙x^4−27. Найдем ее производную f'(x).

1. Найдем производную первого слагаемого, где 0,25 - это постоянный множитель:
f'(x) = 0,25∙[d(x^4)]/dx − [d(27)]/dx.

2. Производная x^4 по x:
[d(x^4)]/dx = 4x^3.

3. Производная константы 27 по x равна нулю, так как константа не зависит от аргумента:
[d(27)]/dx = 0.

4. Подставляем полученные значения обратно в f'(x):
f'(x) = 0,25∙4x^3 − 0.

5. Упрощаем выражение:
f'(x) = x^3.

Теперь определим, когда функция возрастает или убывает. Для этого анализируем знак производной.

1. Решим неравенство f'(x) > 0, чтобы определить, когда функция возрастает:
x^3 > 0.

2. Куб числа положителен только если само число положительно, поэтому получаем:
x > 0.

То есть, функция возрастает на всем интервале значений x > 0.

Теперь перейдем к поиску экстремумов. Экстремумы функции – это точки, в которых она достигает наибольшего или наименьшего значения.

1. Для начала найдем корни уравнения f'(x) = 0:
x^3 = 0.

2. Отсюда видно, что уравнение имеет один корень: x = 0.

3. Чтобы определить тип экстремума, воспользуемся второй производной. Найдем производную производной функции f(x):
f''(x) = [d(x^3)]/dx.

4. Производная x^3 по x:
[d(x^3)]/dx = 3x^2.

5. Подставляем полученные значения обратно в f''(x):
f''(x) = 3x^2.

6. Определяем знак второй производной для x = 0:
f''(0) = 3 * (0)^2 = 0.

Знак второй производной равен нулю для x = 0, что означает отсутствие экстремума в этой точке.

Таким образом, мы рассмотрели функцию f(x) = 0,25∙x^4−27 на возрастание и убывание, а также определили, что она возрастает на всем интервале значений x > 0. Мы также исследовали экстремумы и установили, что у этой функции нет экстремумов.

Надеюсь, что объяснение было понятным и подробным. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи!