Математика: Исследовать ряд на сходимость: ∑_(n=1)^∞▒(n+1) ×〖0.8〗^n

Если я правильно понял - это наш ряд: .Для проверки сходимости подойдёт радикальный признак Коши:---Дано . Находим .Если - ряд расходитсяесли - ряд сходитсяесли - ответа нет (может быть оба варианта для разных рядов, потому ищут другой ---Решаем:Последнее равенство следует из арифметики пределов: если пределы существуют, то предел умножения равен умножению пределов. Предел последовательности существует, значит он равен своему верхнему и нижнему пределу.Получили Ряд сходится....

Исследовать ряд на сходимость: ∑_(n=1)^∞▒(n+1) ×〖0.8〗^n

Ответы

saqo2017 29.07.2020 10:28

Если я правильно понял - это наш ряд: $\Sigma_{n=1}^\infty(n+1)(0.8)^n$ .
Для проверки сходимости подойдёт радикальный признак Коши:
---
Дано $\Sigma_{n=1}^\infty a_n$ .
Находим $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q$ .
Если $q\ \textgreater \ 1$ - ряд расходится
если $q\ \textless \ 1$ - ряд сходится
если q=1

- ответа нет (может быть оба варианта для разных рядов, потому ищут другой
---

Решаем:
$\Sigma_{n=1}^\infty(n+1)(0.8)^n\\
\\
\sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=\sqrt[n]{n+1}\cdot\sqrt[n]{(0.8)^n}\\
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}=1,\ \ \ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(0.8)^n}=0.8\\
\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=1\cdot0.8=0.8$

Последнее равенство следует из арифметики пределов: если пределы существуют, то предел умножения равен умножению пределов.

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=0.8\ \Rightarrow\ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=0.8$
Предел последовательности существует, значит он равен своему верхнему и нижнему пределу.

Получили $0.8\ \textless \ 1\ \Rightarrow\ \Sigma_{n=1}^\infty(n+1)(0.8)^n$
Ряд сходится.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика