Математика: Докажите, что для любых множеств A, B, C (A∩B)∪C=(А∪С)∩(В∪С);

Поучительным подходом будет использование характеристической функции.Характеристическая функция множества берет на вход некоторый элемент (универсального множества) и возвращает 1, если этот элемент принадлежит , и 0 в противном случае.Иными словами, .Исходя из этого, . Понятно, что , поэтому (первый переход опирается на правило де Моргана).Возьмем характеристическую функцию от двух частей равенства. Слева: . Справа: (убедитесь сами: понятно, что ), что и доказывает требуемое....

Докажите, что для любых множеств A, B, C
(A∩B)∪C=(А∪С)∩(В∪С);

Докажите, что для любых множеств A, B, C (A∩B)∪C=(А∪С)∩(В∪С);

Ответы

yakirill0109200 25.02.2021 03:28

Поучительным подходом будет использование характеристической функции.

Характеристическая функция множества $\mathcal{S}$ берет на вход некоторый элемент (универсального множества) и возвращает 1, если этот элемент принадлежит $\mathcal{S}$ , и 0 в противном случае.

Иными словами, $\chi_{_{\mathcal{S}}}(u)=\left \{ {{1,\; u\in \mathcal{S}} \atop {0,\; u\notin \mathcal{S}}} \right.$ .

Исходя из этого, $\chi_{_{M\cap N}}=\chi_{_{M}}\cdot\chi_{_{N}}$ . Понятно, что $\chi_{_{\overline{ M}}}= 1-\chi_{_{M}}$ , поэтому $\chi_{_{M\cup N}}= 1-\chi_{_{\overline{M}\cap \overline{N}}} = 1-(1-\chi_{_{M}})(1-\chi_{_{N}}) = \chi_{_{M}}+\chi_{_{N}} - \chi_{_{M}}\chi_{_{N}}$ (первый переход опирается на правило де Моргана).

Возьмем характеристическую функцию от двух частей равенства. Слева: $\chi_{_{A}}\chi_{_{B}}+\chi_{_{C}}-\chi_{_{A}}\chi_{_{B}}\chi_{_{C}}$ . Справа: $(\chi_{_{A}}+\chi_{_{C}}-\chi_{_{A}}\chi_{_{C}})(\chi_{_{B}}+\chi_{_{C}}-\chi_{_{B}}\chi_{_{C}})=\chi_{_{A}}\chi_{_{B}}+\chi_{_{C}}-\chi_{_{A}}\chi_{_{B}}\chi_{_{C}}$ (убедитесь сами: понятно, что $\chi_{_{C}}^2 = \chi_{_{C}}$ ), что и доказывает требуемое.