Даны вершины треугольника ABC:A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) Найти

а) уравнение стороны АВ

б) уравнение высоты АВ

с) уравнение медианы АМ

г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне AB

При A(1;7) B(-3;-1) C(11;-3)

Даны вершины треугольника ABC: A(1;7) B(-3;-1) C(11;-3)

Найти

а) уравнение стороны АВ.

Находим вектор АВ = (-3-1; -1-7) = (-4; -8).

Уравнение АВ: (x – 1)/(-4) = (y – 7)/(-8) или 2x – y + 5 = 0 в общем виде.

б) уравнение высоты АD.

Находим уравнение стороны ВС.

Вектор ВС = (11-(-3); -3-(-1)) = (14; -2)

Уравнение ВС: (x + 3)/14 = (y + 1)/(-2) или в общем виде x + 7y + 10 = 0.

У перпендикулярной прямой к прямой в общем виде Ах + Ву + С = 0 коэффициенты переменных А и В меняются на В и (-А) (чтобы их скалярное произведение равнялось нулю).  

Тогда уравнение AD: 7x – y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А: 7*1 – 7 + С = 0, отсюда С = 7 – 7 = 0.

Уравнение AD: 7x – y = 0.

с) уравнение медианы АМ.

Находим координаты точки М как середины стороны ВС.

М = (B(-3;-1) + C(11;-3))/2 = (4; -2).

Вектор АМ = (4-1; -2-7) = (3; -9).

Уравнение медианы АМ: (x – 1)/3 = (y – 7)/(-9) или в общем виде 3x + y – 10 = 0.

г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH.

Прямая СН – это перпендикуляр к АВ: 2x – y + 5 = 0.

Уравнение СН: x + 2y + C = 0. Подставим С = (11; -3).

11 + 2*(-3) + С = 0, отсюда С = -11 + 6 = -5.

Уравнение СН: x + 2y - 5 = 0.

Находим точку пересечения АМ и СН.

АМ: 3x + y – 10 = 0. (х(-2)) = -6х – 2у + 20 = 0

СН: x + 2y - 5 = 0.                     x + 2y - 5 = 0  

                                                -5х      + 15 = 0,  

х = -15/(-5) = 3, у = 10 – 3х = 10 – 3*3 = 1.

Точка N(3; 1).

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне AB.

У этой прямой коэффициенты при переменных сохраняются.

2x – y + С = 0, подставим С = (11; -3).

2*11 – (-3) + С = 0, отсюда С = -22 – 3 = -24.

Уравнение: 2x – y - 24 = 0.