Даны пять целых чисел; сумма любых трёх из них чётна. Докажите, что все
числа чётны.

Пошаговое объяснение:

Предположим, что в этой пятерке есть нечетные числа.

Сумма трех чисел будет четной в двух случаях:

- если все три числа четные;

- если два числа нечетные, а третье четное.

Подумаем, сколько нечетных чисел может находиться в нашей пятерке чисел. Явно меньше 3-х (если их 3 или более, то сразу выбираем "плохую" тройку чисел - все нечетные, и результат нас не устраивает).

Меньше 3-х  - это два нечетных числа. Рассмотрим самый перспективный вариант:

пусть числа aₓ - нечетные числа, bₓ - четные числа.

a₁ a₂ b₁ b₂ b₃

Перебираем варианты:

a₁ + a₂ + b₁ - четная сумма, нас устраивает,  

но уже

a₁ + b₁ + b₂ - нечетная сумма

Одно нечетное число - не вариант - сумма двух четных и нашего одного нечетного нечетна.

Т.о. нечетных чисел в пятерке не может быть нисколько.

Пошаговое объяснение:

Среди 5 чисел гарантированно есть три четных числа, потому что, если б они были нечетными, то и их сумма тоже была нечётной:

нечет+нечет+нечет=нечет, что противоречит условию.

Допустим, что числа а, b и с - чётные. Тогда осталось доказать, что

d и е - тоже четные.

К сумме четных чисел, например, (а+b), прибавим е(d)^

(а +b) + е(d) - четная сумма по условию,

(а +b)  - четное число (чет+чет = чет), следовательно, и

е (d) - четное

чет+чет+чет=чет

(чет+чет+нечет=нечет)