Дана правильная четырехугольная призма, диагональ которой равна 15, а диагональ основания равна 10√2. Найдите площадь полной поверхности призмы.

№2
В прямоугольной треугольной призме все боковые грани являются квадратами со стороной 10√3. Найдите площадь полной поверхности.

№3
Най¬ди¬те бо¬ко¬вое ребро пра¬виль¬ной че¬ты¬рех¬уголь¬ной приз¬мы, если сто¬ро¬на ее ос¬но¬ва¬ния равна 20, а пло¬щадь по¬верх¬но¬сти равна 1760.

№4
Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, а апофема 6,5. Найдите периметр основания этой пирамиды.

№5
Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 4 и 6. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный 450.

Начнем с решения каждого вопроса по очереди:

№1
Дана правильная четырехугольная призма, диагональ которой равна 15, а диагональ основания равна 10√2. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Четырехугольная призма состоит из двух оснований (квадратов) и четырех боковых граней (прямоугольников).

Диагональ основания - это сторона основания призмы. Разобьем квадрат на два равных прямоугольника путем проведения диагонали. Тогда каждый из прямоугольников будет иметь сторону длиной a, а другую сторону длиной b.

Используя теорему Пифагора, можем записать уравнение: a^2 + b^2 = (10√2)^2 = 200.
Так как призма является правильной, то боковые стороны прямоугольников равны.
Пусть длина боковых сторон равна h.

Тогда, площадь полной поверхности призмы (S) можно найти по формуле:
S = 2 * (площадь основания + площадь боковых граней).

Площадь основания = a * a = a^2,
площадь боковых граней = 4 * h * a,
площадь всего основания = 2 * a^2,
площадь боковых граней = 4 * h * a = 4 * a * h.

Теперь, подставим значения a^2 = 200 и 4 * a * h = S - 2 * a^2 в формулу для S:
S = 2 * (2 * a^2 + 4 * a * h)
= 4 * a^2 + 8 * a * h
= 4 * 200 + 8 * a * h
= 800 + 8 * a * h.

В задаче дано, что диагональ призмы равна 15, значит, можно записать еще одно уравнение:
a^2 + h^2 = 15^2 = 225.

Теперь, можем решить систему уравнений a^2 + b^2 = 200 и a^2 + h^2 = 225 для нахождения a и h.

Выразим b^2 и h^2 из уравнений:
b^2 = 200 - a^2,
h^2 = 225 - a^2.

Подставим значения h^2 в уравнение площади поверхности:
S = 800 + 8 * a * sqrt(225 - a^2).

Таким образом, площадь полной поверхности призмы равна выражению 800 + 8 * a * sqrt(225 - a^2).

№2
В прямоугольной треугольной призме все боковые грани являются квадратами со стороной 10√3. Найдите площадь полной поверхности.

Прямоугольная треугольная призма состоит из двух оснований (прямоугольного треугольника) и трех боковых граней (квадратов).

Сторону основания обозначим буквой a.

Тогда, площадь полной поверхности призмы (S) можно найти по формуле:
S = 2 * (площадь основания + площадь боковых граней).

Площадь основания = (a * a) / 2,
площадь боковых граней = 3 * (a * a) = 3 * a^2.

Подставим значения для a:
S = 2 * ((10√3 * 10√3) / 2 + 3 * (10√3 * 10√3))
= 2 * (300/2 + 300)
= 2 * (150 + 300)
= 2 * 450
= 900.

Таким образом, площадь полной поверхности составляет 900.

№3
Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

Площадь поверхности призмы состоит из двух оснований (квадратов) и четырех боковых граней (прямоугольников).

Площадь основания равна (20 * 20) = 400, так как это квадрат со стороной 20.

Площадь боковых граней составляет 1760 - 2 * 400 = 960.

Учитывая, что боковая поверхность призмы состоит из четырех прямых прямоугольников, всего их площадь равна 960. Пусть длина бокового ребра равна h.

Тогда:
4 * 20 * h = 960.

Решим это уравнение относительно h:
h = 960 / (4 * 20)
= 960 / 80
= 12.

Таким образом, боковое ребро призмы равно 12.

№4
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а апофема 6,5. Найдите периметр основания этой пирамиды.

Базой пирамиды является правильный четырехугольник, а высота и апофема являются его медианами.

Медиана в правильном четырехугольнике является отрезком, соединяющим вершину четырехугольника с серединой противоположной стороны.

Для решения этой задачи, воспользуемся формулой, связывающей основание, высоту и апофему правильной четырехугольной пирамиды:
периметр = 4 * (боковая сторона) = (аp).

Так как высота и апофема являются медианами, используем формулу для нахождения апофемы:
апофема = sqrt(3) * (боковая сторона) / 2.

Из уравнения апп = 6.5 мы можем найти боковую сторону:
боковая сторона = 6.5 * 2 / sqrt(3)
= 13 / sqrt(3).

Теперь, найдем периметр основания:
периметр = 4 * (боковая сторона)
= 4 * (13 / sqrt(3))
= (52 * sqrt(3)) / sqrt(3)
= 52.

Таким образом, периметр основания этой пирамиды равен 52.

№5
Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 4 и 6. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный 450.

Диагональное сечение усеченной пирамиды образует треугольник, в котором два угла равны 450 и третий угол равен сумме углов треугольника основания, то есть 180 - 2 * 450 = 900.

Используем теорему синусов для нахождения площади треугольника:
S = (a * b * sin(C)) / 2,
где a и b - стороны треугольника, C - угол между этими сторонами.

a = 6,
b = 4,
sin(900) = 1.

Тогда:
S = (6 * 4 * 1) / 2
= 12.

Таким образом, площадь диагонального сечения составляет 12.