Найти общий вид первообразной для функции

1. f(x)=x^3-2/sqrtx

2. f(x)=2cosx-1/sin^2x

1-\grglrgp
2lgrg][g,r]

Для решения вопроса о нахождении общего вида первообразной для данных функций, мы будем использовать методы интегрирования и известные формулы интегралов.

1. Для функции f(x) = x^3 - 2/sqrt(x):

Для начала разобьём данную функцию на два слагаемых:

f(x) = x^3 - 2/x^(1/2)

Мы знаем, что первообразной для функции x^n является функция F(x), такая что F'(x) = x^n. Используя этот факт, мы интегрируем каждое слагаемое отдельно. Давайте начнем с первого слагаемого x^3.

Интеграл от x^3 dx:

Мы знаем формулу для интегрирования x^n, где n ≠ -1:

∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,

где C – константа интегрирования.

Применяем эту формулу к нашему первому слагаемому:

∫ x^3 dx = (x^(3+1))/(3+1) + C = (x^4)/4 + C1.

Теперь рассмотрим второе слагаемое -2/x^(1/2):

Используем формулу ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1:

∫ x^(-1/2) dx = (x^(-1/2+1))/(-1/2+1) + C = -2x^(1/2) + C2.

Теперь объединим полученные результаты и получим общий вид первообразной для функции f(x):

∫ f(x) dx = (x^4)/4 - 2x^(1/2) + C,

где C = C1 + C2 – константа интегрирования.

2. Для функции f(x) = 2cos(x) - 1/sin^2(x):

На данный момент, нет прямой формулы для интегрирования функции типа cos(x) или sin^2(x). Однако, мы можем воспользоваться различными интегральными свойствами и получить ответ.

Рассмотрим первое слагаемое 2cos(x):

Известно, что интеграл от cos(x) dx равен sin(x) + C, где C – константа интегрирования.

∫ 2cos(x) dx = 2∫ cos(x) dx = 2(sin(x)) + C1.

Теперь рассмотрим второе слагаемое -1/sin^2(x):

Мы знаем, что интеграл от sin^2(x) dx равен x/2 - sin(x)cos(x) + C, где C – константа интегрирования.

∫ -1/sin^2(x) dx = -∫ (1/sin^2(x)) dx = -∫ csc^2(x) dx = -(-cot(x)) + C2 = cot(x) + C2.

Теперь, объединяя результаты для обоих слагаемых, получим общий вид первообразной для функции f(x):

∫ f(x) dx = 2sin(x) + cot(x) + C,

где C = C1 + C2 – константа интегрирования.

Таким образом, мы нашли общий вид первообразной для обеих функций f(x).