1. Математика
  2. Дан ящик с квадратным основанием

Дан ящик с квадратным основанием и объемом 64. Каковы должна быть его высота для того, чтобы поверхность без крышки была наименьшей? Умоляю

romanesterov2 romanesterov2    2   11.08.2022 04:13    0

Ответы
ladiaginairina ladiaginairina  11.08.2022 06:00

Высота должна быть равна 2\sqrt[3]{2}

Пошаговое объяснение:

Пусть сторона основания равна x, тогда площадь основания S = {x^2}.

Так как объем такой прямой призмы вычисляется по формуле V = SH, то

H = \displaystyle\frac{V}{S} = \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}}.

Площадь поверхности без крышки состоит из четырех площадей одинаковых боковых граней, каждая из которых прямоугольник со сторонами x и \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}}, и площади основания (дна), поэтому она равна

4 \cdot x \cdot \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}} + {x^2} = \displaystyle\frac{{256}}{x} + {x^2}.

Найдем минимум функции

S(x) = \displaystyle\frac{{256}}{x} + {x^2} = 256{x^{ - 1}} + {x^2}.

Вычислим производную, применяя формулу \[({x^n})' = n{x^{n - 1}},\] и приравняем ее нулю.

S'(x) = - \displaystyle\frac{{256}}{{{x^2}}} + 2x = 0;displaystyle\frac{{2{x^3} - 256}}{{{x^2}}} = 0;2{x^3} = 256;{x^3} = 128;x = \sqrt[3]{{{2^7}}} = 4\sqrt[3]{2}.

С метода интервалов убеждаемся, что проходя через эту точку производная меняет свой знак с минуса на плюс, таким образом, в этой точке достигается минимум функции.

При найденном значении x высота равна

H = \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}}=\displaystyle\frac{{64}}{{{16\sqrt[3]{4=2\sqrt[3]{2}.


Дан ящик с квадратным основанием и объемом 64. Каковы должна быть его высота для того, чтобы поверхн
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
zufa11 zufa11  22.10.2020 23:27
Составьте пропорцию из данных чисел 6,7,12 и 14...
nbatagova2005 nbatagova2005  22.10.2020 23:27
n рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов. Доказать, что n делится на 4...
mjsden80 mjsden80  22.10.2020 23:26
7 89RUEΣΕGHJРܠܢ ܠBNMbMSЫУБREAL EL​...
Hrachuk Hrachuk  22.10.2020 23:26
представьте выражение в виде степени числа x:...
zFast88 zFast88  22.10.2020 23:26
Докажите, что при всех допустимых значениях x и y верно равенство...
Furum Furum  22.10.2020 23:20
1. Найдите х из следующего уравнения9/12=х/ 4А) 3;В) 9; C) 2; D) невозможно найти​...
Дильназ231 Дильназ231  22.10.2020 23:17
При каком значении выражения - 7(a-1) на 25 меньше значения выражения 3(a-4)?​​...
kolopok kolopok  22.10.2020 23:17
-5,7-(-1,3)= -7,5-(-2,1)=-8,9-(-3,7)=-6-(+8,1)=-5-(+6,7)=-8-(+9,5 )=3,5-(+7)=3,6-(-5)= ​...
Барвлвовь Барвлвовь  22.10.2020 23:17
В течение года цены на штрудель два раза поднимали на 50%. А перед Новым годом их стали продавать за полцены . Сколько стоит сейчас один штрудель, если в начале года он стоил...
Largo2000 Largo2000  22.10.2020 23:15
С одной яблони в среднем собрали по 153.3кг яблок Сколько килограммов яблок собрали с 9 таких яблок​...

Популярные вопросы