Дан треугольник a(1; 2)b(-3; 4)c(5; -2). найти: 1) уравнение прямой bc; 2)уравнение медианы am; 3) высоты bk; 4) угол с; 5) расстояние от c до стороны ab.

Даны координаты вершин треугольника: A(1;2); B(-3;4); C(5;-2).

1) уравнение прямой BC.

это каноническое уравнение, можно сократить на 2:
.

3х+9 = 4у-16
3x-4y+25 = 0 это уравнение общего вида,

у = (3/4)х+(25/4) уравнение с коэффициентом.

2)уравнение медианы AM.
Для этого находим координаты точки М как середину стороны ВС.
B(-3;4); C(5;-2). М((-3+5)/2=1; (4-2)/2=1) = (1; 1).
Так как координаты точек А и М по оси х совпадают, то эта прямая параллельна оси Оу и её уравнение х=1.

3) высоты BK.
Эта высота перпендикулярна стороне АС. Находим уравнение стороны АС.

После сокращения на 4, имеем:

-x+1 = y-2
x+y-3 = 0 или у = -х+3.
Коэффициент перед х для уравнения высоты ВК равен -1/(-1) = 1.
ВК: у = х+в.
Для определения параметра в подставим координаты точки В:
4 = -3 + в
в = 4+3 = 7.
Тогда уравнение ВК: у = х + 7.

4) угол С.
Находим длины сторон.
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √20 = 2√5 ≈ 4,472135955,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √100 = 10,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √32 = 4√2 ≈ 5,656854249.
cos C= (АC²+ВС²-АВ²)/(2*АC*ВС)  = 0,989949.
C = 0,141897 радиан = 8,130102 градусов.

5) расстояние от C до стороны AB. Это расстояние есть высота из вершины С на продолжение стороны АВ.
По формуле Герона находим площадь треугольника.

Полупериметр р = (4,4721359555+10+5,656854249)/2 = 
                          =  20,12899/2 =  10,06450.
S = √(10,06450(10,06450- 4,4721359555)(10,06450-10)(10,06450-5,656854249)) = √16 = 4 кв.ед.

Площадь можно определить ещё по одной формуле:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 4.

Тогда расстояние L от В до АС равно:
L =  2S/AC = 2*4/(4√2) = √2 ≈ 1,41421.