Чи може сума цифр квадрата натурального числа дорівнювати 2015?

Нет не может.  Число не делится на 3. Пусть числ к*к. Если из него вычесть 1, то оно равно произведению двух последовательных  натуральных чисел  (к-1)*(к+1). При этом к не делится на 3, значит на 3 делятся  (к-1) или (к+1) . Но, если последняя цифра не 0, то у к*к-1 сумма цифр 2014 и оно тоже на 3 не делится. Если последняя цифра (или несколько цифр 0. то сумма цифр 2014+н*9, где н -некоторое натуральное. Это число тоже на 3 не делится, что и доказывает утверждение.