Биссектриса bl треугольника abc равна 5 и делит сторону ac в отношении 1: 3, считая от вершины a. найдите стороны треугольника авс , если известно, что описанная окружность треугольника abl касается прямой вс в точке в.

prostochel4 prostochel4    3   20.09.2019 06:50    0

Ответы
veronikakorobko veronikakorobko  08.10.2020 04:03
Пусть AL=x; тогда LC=3x. По условию CB является касательной к данной окружности, а CA - секущей. Поскольку квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, получаем равенство 

CB^2=4x\cdot 3x=12x^2.

Далее, по свойству биссектрисы \frac{AB}{BC}=\frac{AL}{LC}=\frac{1}{3},

то есть AB в три раза меньше чем CB, а тогда 

AB^2=\frac{4x^2}{3}.



Остается воспользоваться чудесной формулой Стюарта

BL^2=\frac{BC^2\cdot AL+AB^2\cdot LC}{AL+LC}-AL\cdot LC;

25=\frac{12x^3+4x^3}{4x}-3x^2=x^2;\ x=5;\ AC=20;\ BC=10\sqrt{3};\ 
AB=\frac{10\sqrt{3}}{3}

Замечание. Тому, кто не знает формулу Стюарта и не желает ее освоить, можно только посочувствовать. Ему, скорее всего, придется дважды воспользоваться теоремой косинусов, после чего избавиться от косинусов.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика