Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см, плоский угол при вершине 60º. Найти объём пирамиды.

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы и свойства четырёхугольной пирамиды.

Первое свойство, которое нам понадобится, это формула для нахождения объёма пирамиды:
V = (1/3) * S * h,
где V - объём пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для того чтобы найти объём пирамиды, нам нужно найти площадь основания и высоту. Для этого посмотрим на другое свойство четырёхугольной пирамиды - апофему.

Апофема (aп) четырёхугольной пирамиды это отрезок, проведённый из вершины пирамиды до середины основания и перпендикулярный плоскости основания. В нашем случае, апофема равна 3 см (это нам дано в вопросе).

У нас есть четырёхугольное основание пирамиды, поэтому можно представить его в виде двух треугольников. Поскольку угол при вершине 60º, мы можем использовать некоторые геометрические свойства прямоугольного треугольника.

Разделим наше основание пополам, чтобы получить два прямоугольных треугольника. Каждый из этих треугольников будет иметь апофему, равную половине апофемы четырёхугольной пирамиды (так как она перпендикулярна основанию и проведена из вершины до середины).

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника с гипотенузой равной апофеме (3 см) и углом при вершине 60º. Мы можем использовать формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника:
S = (1/2) * a * b * sin(угол),
где S - площадь треугольника, a и b - катеты треугольника, sin(угол) - синус угла между катетами.

Подставим известные значения в формулу для площади:
S = (1/2) * 3 см * (3/2) см * sin(60º) = (1/2) * 9/2 см² * √3/2 = 27/8 * √3 см².

Теперь нам осталось найти высоту пирамиды. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойством прямоугольных треугольников.

Так как у нас также есть угол между катетами, мы можем использовать формулу для нахождения катета прямоугольного треугольника:
a = h * sin(угол),
где a - катет, h - гипотенуза (наша искомая высота), sin(угол) - синус угла между катетом и гипотенузой.

Подставим известные значения и найдём катет:
3 см = h * sin(60º) => h = 3 см / sin(60º) = 3 см / √3/2 = 2 см * 2/√3 = 4/√3 см.

Таким образом, мы нашли высоту пирамиды, которая равна 4/√3 см.

Теперь, когда у нас есть площадь основания (27/8 * √3 см²) и высота пирамиды (4/√3 см), мы можем подставить эти значения в формулу для нахождения объёма пирамиды:
V = (1/3) * 27/8 * √3 см² * 4/√3 см = 1/6 * 108/8 см³ = 108/48 см³ = 2.25 см³.

Таким образом, объём пирамиды составляет 2.25 см³.