A (2;3;2) В (0;6;2) С(0;3;8) D (2;6;10) 1) найти проекцию вектора AD на вектор AB ;
2) найти площадь грани АВС;
3) найти объем пирамиды АВСD;
4) составить уравнение ребра АС;
5) составить уравнение грани АВС.

Добрый день! Разберем пошагово каждый из пунктов.

1) Для нахождения проекции вектора AD на вектор AB мы будем использовать формулу проекции, которая задается следующим образом: проекция вектора a на вектор b равна (a·b / |b|) * (b / |b|), где a·b обозначает скалярное произведение векторов, а |b| — длину вектора b.

Длина вектора AB находится по формуле √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) — координаты точек A и B соответственно.
Заменив в формуле значения координат точек A и B, мы получим |AB|.

Длина вектора AD находится аналогичным образом: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) — координаты точек A и D соответственно. Заменив в формуле значения координат точек A и D, мы получим |AD|.

Скалярное произведение векторов AD и AB находится так: x1*x2 + y1*y2 + z1*z2, где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) — координаты векторов AD и AB соответственно. Заменив в формуле значения координат векторов AD и AB, мы получим AD·AB.

Подставив эти значения в формулу проекции, получим проекцию вектора AD на вектор AB.

2) Для нахождения площади грани АВС в данном случае можно воспользоваться формулой площади параллелограмма, которая задается следующим образом: площадь параллелограмма равна |AB × AC|, где |AB × AC| обозначает модуль векторного произведения векторов AB и AC.

Векторное произведение AB × AC находится следующим образом:
- векторный произведение покоординатно равно i * (y1 * z2 - y2 * z1) - j * (x1 * z2 - x2 * z1) + k * (x1 * y2 - x2 * y1),
где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) — координаты векторов AB и AC соответственно,
- модуль векторного произведения (|AB × AC|)находится по формуле √((i * (y1 * z2 - y2 * z1))^2 + (j * (x1 * z2 - x2 * z1))^2 + (k * (x1 * y2 - x2 * y1))^2).

Подставив значения координат векторов AB и AC в формулу, получим площадь грани АВС.

3) Объем пирамиды АВСD можно найти следующим образом: объем пирамиды равен (1/6) * |AB · (AC × AD)|, где |AB · (AC × AD)| обозначает модуль смешанного произведения векторов AB, AC и AD.

Смешанное произведение AB, AC и AD находится следующим образом:
- смешанное произведение равно AB · (AC × AD),
- подставив в формулу значения координат векторов AB, AC и AD, получим смешанное произведение AB, AC и AD.

Умножив полученное значение на 1/6, мы получим объем пирамиды АВСD.

4) Уравнение ребра АС можно записать в виде прямоугольной системы уравнений (СЛУ).
a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0,
где (x1, y1, z1) — координаты точки A, (a, b, c) — коэффициенты уравнения ребра АС.

Для определения коэффициентов a, b и c решим СЛУ, подставив значения координат точек A и C.

5) Уравнение грани АВС можно записать в виде прямоугольной системы уравнений (СЛУ). Уравнение грани задается следующим образом:
Ax + By + Cz + D = 0,
где (A, B, C) — коэффициенты уравнения грани АВС, D — свободный член.

Для определения коэффициентов A, B, C и D решим СЛУ, подставив значения координат точек A, B и C.

Данная информация должна помочь вам решить задачу. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!