99 ! с натуральным числом а разрешается выполнять следующую операцию: разбить его на два натуральных слагаемых, больших 1, и заменить а на их произведение. докажите, что из любого числа, большего 4, такими операциями можно получить точную степень 10.

321NIYAZ123 321NIYAZ123    3   11.03.2019 17:40    10

Ответы
Бубух Бубух  22.12.2023 19:17
Для решения данной задачи докажем следующую лемму:

Лемма: Для любого числа n > 4 существует его представление в виде n = 2a + 2b, где a и b больше 1.

Доказательство леммы:
Предположим, что число n представляется в виде n = 2a + 2b, где a и b больше 1.
Если a > 2 и b > 2, то n = 2(a-2) + 2(b-2) + 8. Получаем, что n также можно представить в виде суммы трёх натуральных чисел, больших 1.
Если a = 2 и b > 2, то n = 2 + 2(b-2) + 4 = 2(b-1) + 4. Получаем, что n также можно представить в виде суммы двух натуральных чисел, больших 1.
Аналогично, если a > 2 и b = 2, то n также можно представить в виде суммы двух натуральных чисел, больших 1.

Теперь перейдём к основному вопросу задачи.

Предположим, что мы имеем число n > 4. Согласно доказанной лемме, можем разложить это число на сумму двух натуральных чисел, больших 1: n = 2a + 2b, где a и b больше 1.

Применим операцию и заменим n на произведение a и b: n = 4ab.

Очевидно, что n > 4, поэтому каждое из чисел a и b также больше 1.
Теперь имеем число n = 4ab, которое можно рассматривать как произведение 4 и числа ab.

Если число ab больше 4, то мы можем повторить операцию и получить новое число n = 4(ab)c, где c = ab. Продолжая таким образом, мы получим последовательность чисел: 4(ab), 4(ab)c, 4(ab)c^2, ..., 4(ab)c^k, ..., где k - натуральное число.

Таким образом, мы можем получить числа вида 4(ab)c^k, где каждое новое число получается из предыдущего путем умножения на ab.

Поскольку a и b больше 1, то их произведение ab также больше 1. Поэтому, с каждым новым шагом операции мы получаем число, которое больше предыдущего.

Кроме того, из леммы следует, что любое число ab больше 4 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел, больших 1.

Таким образом, последовательность чисел 4(ab), 4(ab)c, 4(ab)c^2, ... будет состоять только из чисел, которые могут быть представлены в виде суммы двух натуральных чисел, больших 1. Это означает, что каждое число в этой последовательности может быть разложено на два натуральных слагаемых, больших 1.

При достижении к какому-либо числу точной степени 10 (10^m), мы получим число вида 4(ab)c^m, которое также может быть разложено на два натуральных слагаемых, больших 1.

Таким образом, мы доказали, что из любого числа, большего 4, такими операциями можно получить точную степень 10.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика