1. Проверить истинность высказывания: а) Чтобы завтра пойти на занятия, я должен встать рано. Если я сегодня пойду в кино, то лягу спать поздно. Если я лягу спать поздно, то встану поздно. Следовательно, либо я не пойду в кино, либо не пойду на занятия.
б) Я пойду либо в кино, либо в бассейн. Если я пойду в кино, то получу эстетическое удовольствие. Если я пойду в бассейн, то получу физическое удовольствие. Следовательно, если я получу физическое удовольствие, то не получу эстетического удовольствия.
2. На вопрос: «Кто из трех студентов изучал дискретную математику?» получен верный ответ: «Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал дискретную математику?
3. Определите, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно:
если первый сдал, то и второй сдал;
если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал;
если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал;
если четвертый сдал, то и первый сдал.

1. Проверим истинность высказывания а.
Высказывания можно представить в виде следующих утверждений:
P: Чтобы завтра пойти на занятия, я должен встать рано.
Q: Если я сегодня пойду в кино, то лягу спать поздно.
R: Если я лягу спать поздно, то встану поздно.

Исходя из этих утверждений, мы имеем следующую логическую цепочку:
P → Q
Q → R

Согласно правилу следования импликации (если p → q, и q → r, то p → r), мы можем сделать вывод:
P → R

Следовательно, если я пойду в кино и сегодня лягу спать поздно, то я встану поздно.

Теперь рассмотрим вторую часть высказывания:
S: Я не пойду в кино.
T: Я не пойду на занятия.

Исходя из этих утверждений, мы имеем следующую логическую цепочку:
S → T

Теперь объединим оба утверждения:
(P → R) ∧ (S → T)

Если одно из этих высказываний истинно, то исходное утверждение истинно. Но эти два высказывания могут быть ложными одновременно. Например, если я не пойду в кино и не лягу спать поздно, то исходное утверждение будет ложным.

Следовательно, исходное утверждение а не является истинным.

2. Разберем вопрос:
Кто из трех студентов изучал дискретную математику?

Предположим, что первый студент изучал дискретную математику. Тогда, согласно условию, третий студент также должен был изучать дискретную математику. Но условие также говорит, что второй студент не изучал дискретную математику, что противоречит нашему предположению.

Теперь предположим, что второй студент изучал дискретную математику. В этом случае ничего не говорится о третьем студенте, следовательно, нам ничего неизвестно о его обучении дискретной математике.

Таким образом, мы можем заключить, что неизвестно, кто из трех студентов изучал дискретную математику.

3. Для определения, кто из четырех студентов сдал экзамен, рассмотрим условия.

Утверждение 1: если первый сдал, то и второй сдал.
Утверждение 2: если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал.
Утверждение 3: если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал.
Утверждение 4: если четвертый сдал, то и первый сдал.

Из утверждения 1 следует, что если первый не сдал, то второй тоже не сдал.

Из утверждения 2 следует, что если второй не сдал, то или третий не сдал, или первый сдал.

Из утверждения 3 следует, что если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал.

Из утверждения 4 следует, что если четвертый сдал, то и первый сдал.

Теперь рассмотрим все возможные варианты:

1. Первый сдал. Из утверждения 1 следует, что второй тоже сдал. Из утверждения 2 следует, что третий либо не сдал, либо первый не сдал, но первый сдал. Из утверждения 3 следует, что четвертый не сдал, но первый сдал. Это противоречие.

2. Первый не сдал. Из утверждения 1 следует, что второй тоже не сдал. Из утверждения 2 следует, что третий либо не сдал, либо первый сдал, но первый не сдал. Из утверждения 3 следует, что четвертый сдал, но первый не сдал. Это противоречие.

3. Второй сдал. Из утверждения 1 следует, что первый сдал. Из утверждения 2 следует, что либо третий не сдал, либо первый не сдал. Из утверждения 3 следует, что четвертый не сдал, но первый сдал. Это противоречие.

4. Второй не сдал. Из утверждения 1 следует, что первый не сдал. Из утверждения 2 следует, что либо третий не сдал, либо первый сдал, но первый не сдал. Из утверждения 3 следует, что четвертый сдал, но первый не сдал. Это противоречие.

Таким образом, невозможно однозначно определить, кто из четырех студентов сдал экзамен, исходя из предоставленной информации.