1. Исследовать на монотонность функцию и найти её экстремумы:
y=3x^3 + 2x^2 – 14

​

=================================

Пошаговое объяснение:

Для исследования функции на монотонность и поиска экстремумов, нам нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найдите первую производную функции.
Функция y=3x^3 + 2x^2 - 14
Первая производная функции будет:
y' = 9x^2 + 4x

Шаг 2: Решите уравнение y' = 0, чтобы найти точки, где функция может иметь экстремумы.
Решение уравнения 9x^2 + 4x = 0:
9x^2 + 4x = 0
x(9x + 4) = 0
x = 0 или 9x + 4 = 0

Первый корень: x = 0
Второй корень: 9x + 4 = 0
9x = -4
x = -4/9

Таким образом, у нас есть две точки, где функция может иметь экстремумы: x = 0 и x = -4/9.

Шаг 3: Проанализируйте знак первой производной на интервалах между и за пределами найденных точек.
Чтобы определить значок первой производной, мы можем выбрать значения внутри и вне интервала и подставить их в производную. Если результат положительный, значит, функция монотонно возрастает на этом интервале. Если результат отрицательный, значит, функция монотонно убывает на этом интервале.

Давайте рассмотрим интервалы:
1) Для x < -4/9:
Подставим значение х = -1 в производную:
9(-1)^2 + 4(-1) = 9 + (-4) = 5
Таким образом, на интервале x < -4/9 первая производная положительная, следовательно, функция монотонно возрастает на этом интервале.

2) Для -4/9 < x < 0:
Подставим значение х = -1/2 в производную:
9(-1/2)^2 + 4(-1/2) = 9/4 - 2 = 1/4
Таким образом, на интервале -4/9 < x < 0 первая производная положительная, следовательно, функция монотонно возрастает на этом интервале.

3) Для 0 < x < -4/9:
Подставим значение х = 1/2 в производную:
9(1/2)^2 + 4(1/2) = 9/4 + 2 = 11/4
Таким образом, на интервале 0 < x < -4/9 первая производная положительная, следовательно, функция монотонно возрастает на этом интервале.

4) Для x > 0:
Подставим значение х = 1 в производную:
9(1)^2 + 4(1) = 9 + 4 = 13
Таким образом, на интервале x > 0 первая производная положительная, следовательно, функция монотонно возрастает на этом интервале.

Шаг 4: Определите экстремумы функции.
Мы знаем, что экстремумы функции достигаются в точках, где первая производная равна 0 или не существует. Мы найдем значения функции в найденных ранее точках x = 0 и x = -4/9, и определим, являются ли они максимумами или минимумами.

Давайте рассмотрим каждую точку по отдельности:
1) Для x = 0:
Подставим значение в функцию y=3x^3 + 2x^2 - 14:
y = 3(0)^3 + 2(0)^2 - 14 = -14
Таким образом, точка (0, -14) является минимумом функции.

2) Для x = -4/9:
Подставим значение в функцию y=3x^3 + 2x^2 - 14:
y = 3(-4/9)^3 + 2(-4/9)^2 - 14 ≈ -14.21
Таким образом, точка (-4/9, -14.21) также является минимумом функции.

Итак, мы получаем, что функция y=3x^3 + 2x^2 - 14 монотонно возрастает на всем диапазоне и имеет два минимума: (0, -14) и (-4/9, -14.21).