1. Даны векторы a {1; 4; 0}, b {5; 1; 1}, c {6; 3; 1}, d {-6; 4; -2}. Выполнить действия: a) a + b
b) a - c
c) d + c
d) c + a
e) 4a
f) 5a - 3c
2. Разложить векторы a {1; 4; 0}, b {5; 1; 1}, c {6; 3; 1}, d {-6; 4; -2} по координатным векторам i, j, k.
3. Вычислить длину вектора: k {2; 3; 0}
4. Найти расстояние между двумя точками: M1 (1; 3; 2) M2 (0; 4; 1)
5. Даны векторы a {1; 4; 0}, b {5; 1; 1}, c {6; 3; 1}, d {-6; 4; -2}. Найти скалярное произведение векторов:
a) a * b
a) d * c
6. Найдите длину CK – медианы треугольника ABC, если A (1;2;1), B (-4;6;3), C (-5;2;1).
7. Найдите угол между векторами
a) {5; 2; 7}
b) {7; 5; 2}

1.

a) Для сложения векторов a и b, нужно сложить соответствующие координаты:

a + b = {1+5; 4+1; 0+1} = {6; 5; 1}

b) Для вычитания вектора c из вектора a, нужно вычесть соответствующие координаты:

a - c = {1-6; 4-3; 0-1} = {-5; 1; -1}

c) Для сложения векторов d и c, нужно сложить соответствующие координаты:

d + c = {-6+6; 4+3; -2+1} = {0; 7; -1}

d) Для сложения векторов c и a, нужно сложить соответствующие координаты:

c + a = {6+1; 3+4; 1+0} = {7; 7; 1}

e) Для умножения вектора a на число 4, нужно умножить каждую координату на 4:

4a = {4*1; 4*4; 4*0} = {4; 16; 0}

f) Для вычисления 5a - 3c, нужно умножить вектор a на 5 и вектор c на 3, а затем вычесть полученные векторы:

5a = {5*1; 5*4; 5*0} = {5; 20; 0}
3c = {3*6; 3*3; 3*1} = {18; 9; 3}

5a - 3c = {5-18; 20-9; 0-3} = {-13; 11; -3}

2.

Разложение векторов по координатным векторам i, j, k выглядит следующим образом:

a = 1i + 4j + 0k
b = 5i + 1j + 1k
c = 6i + 3j + 1k
d = -6i + 4j - 2k

3.

Для вычисления длины вектора k, нужно взять корень суммы квадратов его координат:

|k| = √(2² + 3² + 0²) = √(4 + 9 + 0) = √13 ≈ 3.61

4.

Для вычисления расстояния между двумя точками M1 и M2, нужно вычислить длину вектора, соединяющего эти точки:

M1 (1; 3; 2)
M2 (0; 4; 1)

Длина вектора O = M2 - M1:

O = M2 - M1 = {0-1; 4-3; 1-2} = {-1; 1; -1}

|O| = √((-1)² + 1² + (-1)²) = √(1 + 1 + 1) = √3 ≈ 1.73

5.

a) Для вычисления скалярного произведения векторов a и b, нужно умножить соответствующие координаты и сложить полученные произведения:

a * b = 1*5 + 4*1 + 0*1 = 5 + 4 + 0 = 9

b) Для вычисления скалярного произведения векторов d и c, нужно умножить соответствующие координаты и сложить полученные произведения:

d * c = (-6)*6 + 4*3 + (-2)*1 = -36 + 12 - 2 = -26

6.

Для нахождения длины медианы треугольника CK, нужно найти координаты его середины и вычислить длину вектора, который соединяет точку K с центром треугольника ABC.

A (1;2;1)
B (-4;6;3)
C (-5;2;1)

Координаты середины треугольника CK можно найти, сложив соответствующие координаты:

M = (A + B + C) / 3 = (1-4-5; 2+6+2; 1+3+1) / 3 = (-8/3; 10/3; 5/3)

Затем нужно вычислить вектор CK:

CK = K - M = (-5 + 8/3; 2 - 10/3; 1 - 5/3) = (-15/3 + 8/3; 6/3 - 10/3; 3/3 - 5/3) = (-7/3; -4/3; -2/3)

Длина вектора CK:

|CK| = √((-7/3)² + (-4/3)² + (-2/3)²) = √(49/9 + 16/9 + 4/9) = √(69/9) = √(23/3) ≈ 2.52

7.

a) Для нахождения угла между векторами a и b, нужно вычислить их скалярное произведение и поделить его на произведение их длин:

a = {5; 2; 7}
b = {7; 5; 2}

Угол между векторами α = arccos((a * b) / (|a| * |b|))

|a| = √(5² + 2² + 7²) = √(25 + 4 + 49) = √78 ≈ 8.83
|b| = √(7² + 5² + 2²) = √(49 + 25 + 4) = √78 ≈ 8.83
(a * b) = 5*7 + 2*5 + 7*2 = 35 + 10 + 14 = 59

α = arccos(59 / (8.83 * 8.83))

b) Аналогично для векторов a и b:

a = {7; 5; 2}
b = {5; 2; 7}

|a| = √(7² + 5² + 2²) = √(49 + 25 + 4) = √78 ≈ 8.83
|b| = √(5² + 2² + 7²) = √(25 + 4 + 49) = √78 ≈ 8.83
(a * b) = 7*5 + 5*2 + 2*7 = 35 + 10 + 14 = 59

β = arccos(59 / (8.83 * 8.83))