Строители испачкали краской пол, выложенный квадратной плиткой. Всего оказалось испачкано 25 плиток. Может ли
каждая из них иметь нечётное число испачканных соседей?​

Добрый день, уважаемый школьник! Отличный вопрос у тебя! Давай посмотрим на него внимательно и разберемся вместе.

Итак, строители испачкали пол, выложенный квадратной плиткой. Мы знаем, что всего оказалось испачкано 25 плиток. Теперь давай разберемся с понятием "испачканного соседа".

Испачканный сосед для каждой плитки - это такая плитка, которая находится рядом с данной плиткой и тоже испачкана.

Теперь мы можем рассмотреть несколько вариантов числа испачканных соседей у каждой плитки.

1) Если у каждой плитки нет испачканных соседей, то это означает, что они все окружены чистыми плитками. В этом случае все 25 плиток будут испачканы и вокруг них будут только чистые плитки. Это действительно возможно и подходит к нашей ситуации.

2) Если у каждой плитки только один испачканный сосед, то все 25 плиток должны находиться на границе, по которой они соприкасаются с общей площадкой. Здесь у нас возникает проблема, потому что квадратная площадка имеет только четыре границы, а значит мы можем иметь максимум 4 испачканных плитки на границе. Поэтому этот вариант невозможен.

3) Если у каждой плитки два испачканных соседа, то мы можем организовать их в виде замкнутого кольца, но заметь, что в этом случае испачки могут занимать только нечетное количество плиток, так как каждая плитка имеет двух соседей, а значит между этими плитками должна быть четная количество плиток. Но в нашей ситуации количество испачканных плиток равно 25, что является нечетным числом. Значит, этот вариант тоже невозможен.

4) Если у каждой плитки три или более испачканных соседей, то это означает, что каждая плитка имеет как минимум три соседа, и это соседи, находящиеся непосредственно рядом с данной плиткой. В этом случае количество плиток-соседей должно быть меньше или равно количеству испачканных плиток, то есть 25. Учитывая, что каждая плитка "отдаёт" не менее трех испачканных плиток своим соседям, это невозможно, так как требовалось бы иметь 25*3=75 плиток-соседей, что больше, чем общее количество плиток.

Итак, в результате анализа всех возможных вариантов мы можем сделать вывод, что у каждой из 25 испачканных плиток не может быть нечетного числа испачканных соседей.