Втреугольнике abc угол c- тупой и ав=4. докажите, что сумма длин медиан треугольнике меньше 9

Тупоугольный треугольник АВС

Угол А тупой

Сторона ВС = 4

Медианы АЕ, BF, CD

Координаты вершин

A(x;y)

B(2;0)

C(-2;0)

D((2+x)/2;y/2)

E(0;0)

F((x-2)/2;y/2)

Тупоугольным треугольник будет только если вершина А лежит внутри окружности, построенной на стороне CD и диаметром 4

AE² = x² + y² < 2²

|AE| < 2

Медиана АЕ меньше 2

Медиана ВF

ВF² = (2 – (x-2)/2)² + y²/4 = 1/4*(x² – 12x + y² + 36)

Медиана СD

CD² = ((2+x)/2+2)² + y²/4 = 1/4*(x² + 12x + y² + 36)

Сумма медиан CD и BF

S(x;y) = 1/2*sqrt(x² – 12x + y² + 36) + 1/2*sqrt(x² + 12x + y² + 36)

Производная по x, ищем экстремум

dS/dx = 1/4*((2(x - 6))/sqrt(x² - 12x + y² + 36) + (2(x + 6))/sqrt(x² + 12x + y² + 36)) = 0

(x - 6)/sqrt(x² - 12x + y² + 36) + (x + 6)/sqrt(x² + 12x + y² + 36) = 0

Числитель

(x - 6)*sqrt(x² + 12x + y² + 36) + (x + 6)*sqrt(x² - 12x + y² + 36) = 0

Тривиальное решение

х = 0 для любого y

Знаменатель при этом неважен, лишь бы оставался ненулевым

Это экстремум, но минимум или максимум — пока неизвестно.

Для определения проще всего вычислить значение S(0;2) и S(1;2)

S(0;2) = 1/2*sqrt(4 + 36) + 1/2*sqrt(4 + 36) = sqrt(40) ≈ 6,325

S(1;2) = 1/2*sqrt(1 – 12 + 4 + 36) + 1/2*sqrt(1 + 12 + 4 + 36) = 1/2*sqrt(29) + 1/2*sqrt(53) ≈ 6,333

Т.е. при x = 0 имеется минимум суммы длин медиан

Минимальной суммой медиан к боковым сторонам обладает равнобедренный треугольник

Производную по y можно не брать, т. к. по y сумма длин — функция возрастающая и максимальное значение суммы длин будет при максимальном значении y

Но из условия тупоугольности треугольника у нас y не может превосходить 2

Медиана к основанию тоже не превосходит 2, поэтому значение сумм длин всех трёх медиан будет не превосходить

S(0;2) + 2 = 2 + sqrt(40) ≈ 8,325

Что меньше требуемых по условию 9