Впространстве заданы четыре точки: а(1; 1; 1), в(1; 2; -2), с(9; 0; 0), d(2; 3; 4). а) напишите параметрические уравнения прямой вс. б) напишите уравнение плоскости авс. в) напишите уравнение сферы, диаметром которой является отрезок ad. г) определите взаимное расположение прямой bc и этой сферы. д) напишите уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке а. е) найдите расстояние между прямыми вс и аd.

а) Параметрическое уравнение прямой вс можно записать в виде:
x = 1 + t(9 - 1)
y = 1 + t(0 - 1)
z = 1 + t(0 - 1)

б) Уравнение плоскости авс можно найти, используя точку а(1; 1; 1) и два вектора, принадлежащих плоскости:
вектор aс = (9 - 1; 0 - 1; 0 - 1) = (8; -1; -1)
вектор аv = (1 - 1; 2 - 1; -2 - 1) = (0; 1; -3)

Уравнение плоскости можно записать в виде:
8(x - 1) - (y - 1) - (z - 1) = 0
8x - 8 - y + 1 - z + 1 = 0
8x - y - z - 6 = 0

в) Для нахождения уравнения сферы, диаметром которой является отрезок ad, нужно найти радиус сферы, который будет равен половине длины отрезка ad.
Длина отрезка ad можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в пространстве:
d(ad) = √((2 - 1)^2 + (3 - 1)^2 + (4 - 1)^2) = √(1 + 4 + 9) = √14

Радиус сферы будет равен половине длины отрезка ad:
r = (√14)/2

Уравнение сферы можно записать в виде:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = (r)^2
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = (√14/2)^2
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 7/2

г) Чтобы определить взаимное расположение прямой bc и сферы, нужно найти расстояние между этими объектами. Если расстояние между прямой и сферой меньше радиуса сферы, то прямая пересекает сферу, если равно радиусу - касается, если больше - не пересекает и не касается.

д) Уравнение плоскости, касающейся сферы в точке а, может быть найдено, используя нормальный вектор плоскости. Нормальный вектор можно найти, взяв вектор радиуса сферы, и написав уравнение плоскости в виде:
(x - 1)*(x - 1) + (y - 1)*(y - 1) + (z - 1)*(z - 1) = (r)^2
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = (7/2)

е) Чтобы найти расстояние между прямыми вс и аd, можно найти расстояние между точкой на одной прямой и ближайшей точкой на другой прямой.

Уравнение точек на прямой вс: (x, y, z) = (1 + t(9 - 1), 1 + t(0 - 1), 1 + t(0 - 1))
Уравнение точек на прямой аd: (x, y, z) = (1 + t(2 - 1), 1 + t(3 - 1), 1 + t(4 - 1))

Для удобства избавимся от параметра t в обоих уравнениях и найдем ближайшую точку на прямой аd, когда t = 1:
(2, 3, 4)

Зная координаты ближайшей точки на прямой аd, можно найти расстояние до прямой вс, используя формулу расстояния между точкой и прямой:
d = |(8(2 - 1) - (0 - 1) - (0 - 1)) / √(8^2 + (-1)^2 + (-1)^2)| = |(8 - 1 - 1) / √(64 + 1 + 1)| = |6 / √66| = 6 / √66