Вершины треугольника abc лежат от плоскости α на расстояний 3,75; 9 и 2,25. найдите расстояние от центра массы треугольника до плоскости.

Центр тяжести треугольника находится в точке  пересечения его  медиан. которые всегда  пересекаются в одной точке.

  Расстояние от точки до плоскости измеряется длиной проведенного от точки до плоскости перпендикулярного отрезка.     

 Сделаем рисунок

АН=9, ВО=2,25, СЕ=3,75. Все три отрезка перпендикулярны плоскости альфа. 

 Проведем в ∆ АВС две медианы, точка пересечения которых - центр тяжести треугольника.

Обозначим  АМ медиану из А.  Точку пересечения медиан из А и С обозначим Т. Эта  точка – центр тяжести  ∆ АВС и  проецируется в точку Р пересечения медиан ∆ НОЕ–  проекции треугольника АВС на плоскость α. 

Четырехугольник OВСЕ - прямоугольная трапеция. МК - ее средняя линия, т.к. ВМ=МС, ОК=КЕ.

МК=(2,25+3,75):2=3

Четырехугольник АНКМ - прямоугольная трапеция. ( см. рис.2) 

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, ⇒ АТ:ТМ=2:1.

Проведем MN║КН.

AN=AH-MK=9-3=6

∆ АNM ~∆TQM, k=AM:TM=3:1 ⇒

AN:TQ=3:1

3•TQ=6⇒

TQ=2

TP=TQ+QP=2+3=5 (ед. длины) - это ответ.