Вершины правильного треугольника лежат на сфере. Найдите площадь сферы, если ОО1 = 5 см, АВ = 10 см.

Для решения задачи нам понадобятся свойства правильных треугольников и сферы.

1. Правильный треугольник:
- Все стороны правильного треугольника равны между собой.
- Все углы равны 60 градусов.
- Высота правильного треугольника делит его на два равносторонних треугольника.

2. Сфера:
- Сфера - это геометрическое тело, все точки которого равноудалены от его центра.
- Радиус сферы - это расстояние от центра сферы до любой ее точки.

Теперь давайте решим задачу:

1. Начнем с построения: нарисуем сферу и отметим на ней вершины треугольника и центр сферы. Возьмем центр сферы и обозначим его буквой "О". От центра сферы проведем линию до одной из вершин треугольника и обозначим ее буквой "О1". Таким образом, у нас получится радиус сферы, радиус ОО1.

2. Согласно свойствам правильного треугольника, расстояние между центром сферы и любой из вершин треугольника будет равно радиусу сферы. То есть, ОО1 = Радиус сферы. В задаче дано, что ОО1 = 5 см.

3. Мы также знаем, что в правильном треугольнике все стороны равны между собой. В задаче дано, что АВ = 10 см. То есть, АО1 = АО = ВО = 10 см.

4. Обратимся к свойствам правильных треугольников. Высота, проведенная из вершины правильного треугольника, делит его на два равносторонних треугольника. Следовательно, ОО1 является высотой треугольника АО1В.

5. Так как треугольник АО1В - равносторонний, то угол между сторонами АО1 и ВО будет равен 60 градусов. Известно, что косинус угла 60 градусов равен 1/2.

6. Воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит: в треугольнике с известными сторонами a, b, c и углом между ними C квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
АО^2 = АО1^2 + О1О^2 - 2*АО1*О1О*cos(60).
Так как радиус сферы ОО1 = 5, то О1О = 2*ОО1 = 10.
Подставляя известные значения, получим:
АО^2 = 10^2 + 5^2 - 2*10*5*(1/2).
АО^2 = 100 + 25 - 50.
АО^2 = 100 + 25 - 50.
АО^2 = 75.

7. Чтобы найти площадь сферы, нам нужно найти значение радиуса сферы. Мы уже знаем, что АО = 10. Воспользуемся свойством равносторонних треугольников: высота, проведенная из вершины равностороннего треугольника, делит его на два равносторонних треугольника. Это означает, что АО делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Таким образом, радиус сферы АО является гипотенузой одного из этих прямоугольных треугольников.

8. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
АО^2 = АО1^2 + О1О^2.
Подставляя известные значения, получим:
АО^2 = 10^2 + 10^2.
АО^2 = 100 + 100.
АО^2 = 200.

9. Поскольку ОО1 равно радиусу сферы, а АО равно гипотенузе прямоугольного треугольника, то ОО будет равно катету этого треугольника. Используя теорему Пифагора, можем найти ОО:
ОО^2 = АО^2 - ОО1^2.
Подставляя известные значения, получим:
ОО^2 = 200 - 5^2.
ОО^2 = 200 - 25.
ОО^2 = 175.

10. Площадь поверхности сферы можно найти с помощью формулы S = 4πr^2, где S - площадь поверхности сферы, а r - радиус сферы.
С = 4 * π * ОО^2.
С = 4 * π * 175.
С ≈ 2203.29 см^2.

Таким образом, площадь сферы будет приблизительно равна 2203.29 см^2.