В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 7 см, ВС = 9 см, АС = 10 см. Точки А1, В1, С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС, АС и ВА. ВВ1 пересекает СС1 = О. Найдите отношение отрезков ОА1 к ОА

Добрый день!

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойство касательных.

Давайте разберемся, что значит, что треугольник АВС описан около окружности.

Окружность описана вокруг треугольника, когда все его вершины лежат на окружности. То есть, если мы проведем радиусы окружности из центра окружности к вершинам треугольника, то эти радиусы будут являться также биссектрисами углов треугольника. В нашем случае, треугольник АВС описан около окружности, поэтому радиусы, проведенные к вершинам А, В и С, являются биссектрисами углов.

Давайте обратимся к рисунку, чтобы уяснить задачу.

A
/ \
/ \
/ \
/_________\
B C

На рисунке мы видим треугольник АВС, вокруг которого описана окружность. Также на рисунке отмечены точки А1, В1 и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС, АС и ВА. И отмечен пересечение ВВ1 и СС1 в точке О.

Нам нужно найти отношение отрезков ОА1 к ОА.

Чтобы решить задачу, воспользуемся свойствами касательных окружности и построим дополнительные отрезки и углы.

Дополнительное построение:
- Соединим точку О с центром окружности, обозначим ее как М.
- Проведем прямые, проходящие через точки М и А, Б, С.
- Обозначим точку пересечения прямой, проходящей через М и А, с окружностью как А2.
- Обозначим точку пересечения прямой, проходящей через М и Б, с окружностью как В2.

Теперь у нас есть дополнительные отрезки и углы на рисунке:

A
/ \
/ \
/ \
/_______\
B C
| /
| /
| /
А2МВ2

Обратимся к теореме касательных окружности.

Теорема касательных окружности говорит, что если мы проведем касательную к окружности из точки касания, то эта касательная будет перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания.

Применим эту теорему для отрезков В1С1, А1С1 и ВВ1 ко вторично построенным отрезкам В2М, А2М и В2А2 соответственно.

Так как ВВ1 касается окружности в точке С, то получаем, что ВВ1 перпендикулярно радиусу СМ, проведенному из центра окружности к точке С. Тогда у нас получается прямоугольный треугольник ВСМ, где ВМ - высота. Следовательно, В2В1 = В2М.

Точно также, А1С1 перпендикулярно радиусу АМ, проведенному из центра окружности к точке А. Тогда у нас получается прямоугольный треугольник АСМ, где АМ - высота. Следовательно, А1А2 = А2М.

Теперь можем обратиться к построенным отрезкам А2М и В2М. Мы знаем, что А2М является высотой прямоугольного треугольника АСМ, а В2М является высотой прямоугольного треугольника ВСМ. Эти высоты соотносятся как стороны прямоугольных треугольников.

Обозначим отрезок ОА1 как х, а отрезок ОА как у. Тогда мы можем записать следующее отношение:

А1А2 / В2В1 = АМ / ВМ

Заменяем известные значения в задаче:

х / О = А2М / В2М

Заменяем полученные отношения:

х / О = А2АM / B2BМ

Используем отношение сторон подобных треугольников:

х / О = АМ / ВМ

Подставляем известные значения:

х / О = the line continuing FJ and FQ = ОА / ОВ

Теперь нам нужно найти отношение отрезков ОА1 к ОА.

Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников АСМ и ВСМ:

АС^2 = АМ^2 + CM^2
ВС^2 = ВМ^2 + CM^2

Заменяем известные значения в задаче:

10^2 = АМ^2 + CM^2
9^2 = ВМ^2 + CM^2

Раскрываем эти равенства:

100 = АМ^2 + CM^2
81 = ВМ^2 + CM^2

Вычитаем второе уравнение из первого:

100 - 81 = АМ^2 + CM^2 - ВМ^2 - CM^2
19 = АМ^2 - ВМ^2

Заменяем значения, полученные при построении:

19 = (ОА - х)^2 - (ОВ - х)^2

Раскрываем скобки:

19 = ОА^2 - 2хОА + х^2 - ОВ^2 + 2хОВ - х^2

Упрощаем уравнение:

19 = ОА^2 - ОВ^2 + 2х(ОВ - ОА)

Перегруппируем:

ОА^2 - ОВ^2 = -2х(ОВ - ОА) - 19

Раскрываем скобки:

ОА^2 - ОВ^2 = -2хОВ + 2хОА - 19

ОА^2 - ОВ^2 = -2х(ОВ - ОА) - 19

Упрощаем уравнение:

ОА^2 - ОВ^2 = 2х(ОА - ОВ) - 19

Делим обе части уравнения на (ОА - ОВ):

(ОА^2 - ОВ^2) / (ОА - ОВ) = 2х - 19 / (ОА - ОВ)

Мы знаем, что ОВ = ОА - х, поэтому заменяем:

(ОА^2 - (ОА - х)^2) / (ОА - (ОА - х)) = 2х - 19 / (ОА - (ОА - х))

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

(ОА^2 - ОА^2 + 2хОА - х^2) / (ОА - ОА + х) = 2х - 19 / х

Упрощаем уравнение и сокращаем:

(2хОА - х^2) / х = 2х - 19 / х

Сокращаем х по обеим сторонам:

2ОА - х = 2 - 19 / 1

Так как равенство верно для любого х, то 2ОА равно 2 - 19.

Раскрываем скобки:

2ОА - х = 2 - 19
2ОА - х = -17

Добавляем х к обеим частям уравнения:

2ОА = -17 + х

Теперь мы можем заменить х на отношение отрезков ОА1 к ОА:

2ОА = -17 + (ОА1 / ОА)

Переносим -17 на другую сторону уравнения:

2ОА + 17 = ОА1 / ОА

Умножаем обе части уравнения на ОА:

ОА1 = (2ОА + 17)ОА

Теперь мы знаем выражение для отношения отрезков ОА1 к ОА в зависимости от ОА.

Осталось только подставить вместо ОА значение из условия задачи.

ОА = 7 см

ОА1 = (2 * 7 + 17) * 7

ОА1 = 41 * 7

ОА1 = 287 см

Отношение отрезков ОА1 к ОА равно 287:7 или 41:1.