В тетраэдре mnlk вектор mn (-1 0 8), вектор ml (0 -3 7), вектор mk (-6 4 0). найдите объем тетраэдра и длину высоты опущенной из вершины m на грань nlk

Даны векторы: MN (-1 0 8), ML (0 -3 7),  MK (-6 4 0).

Объём пирамиды (тетраэдра) равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов (MNxML)*MK.

Найдём это произведение с применением схемы Саррюса.

-1      0      8|       -1        0

0     -3      7|        0        -3

-6     4      0|       -6        4   = 0 +0 + 0 - 0 -(-28) - 144 = -116.

V = (1/6)*|-116| = 116/6 = 58/3.

Находим векторы в плоскости MNK как разность векторов.

LN = ML – MN = (0-(-1); -3-0; 7-8) = (1; -3; -1).

LK = ML – MK = ((0-(-6); -3-4; 7-0) = (6; -7;  7).

Площадь треугольника NLK равна половине модуля векторного произведения векторов LN и LK.

i      j      k|      i       j

1    -3    -1|     1      -3

6   -7      7|     6      -7 = -21i – 6j – 7k – 7j – 7i + 18k = -28i – 13j + 11k.

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-28)² + (-13)² + 11²) = √(784 + 169 + 121) = √1074.

Найдем площадь треугольника:

S =  (1/2) √1074  =  √1074/2  ≈  16,386.

Теперь можно найти высоту Н из вершины M на плоскость NLK по формуле:

H = 3V/S = (3*(58/3)/(√1074/2)  = 116/√1074 = 58√1074/537 ≈  3,54.