В остроугольном треугольнике ABC высота AH = 2√21, а сторона АВ равна 10. Найдите cos B.

​

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. В остроугольном треугольнике ABC дано, что высота AH равна 2√21 и сторона АВ равна 10.

2. Поскольку треугольник ABC остроугольный, у нас есть возможность использовать теорему Пифагора, которая гласит: в квадрате гипотенузы равно сумма квадратов катетов.

3. Определим гипотенузу треугольника ABC, которая соответствует стороне AB. У нас уже задана длина AB и она равна 10.

4. Найдем катет AC с помощью теоремы Пифагора. Зная сторону AB (10) и высоту AH (2√21), мы можем использовать теорему Пифагора:

AB² = AC² + BC²

10² = AC² + BC²

100 = AC² + BC²

5. Теперь, найдя катет AC, можно найти катет BC, используя высоту AH.

Поскольку высота AH является перпендикуляром к основанию BC, то площадь треугольника ABC равна S = 0.5 * AH * BC. Так как площадь равна S = 0.5 * AB * AC, мы можем записать:

0.5 * AB * AC = 0.5 * AH * BC

AB * AC = AH * BC

10 * AC = 2√21 * BC

AC = 0.2√21 * BC

6. Подставим это выражение для AC в уравнение катетов треугольника, которое мы получили в пункте 4:

100 = AC² + BC²

100 = (0.2√21 * BC)² + BC²

100 = 0.04 * 21 * BC² + BC²

100 = 0.84 * BC² + BC²

100 = 1.84 * BC²

BC² = 100 / 1.84

BC² ≈ 54.35

BC ≈ √54.35

BC ≈ 7.37

(Округляем до двух знаков после запятой)

7. Теперь, когда мы знаем стороны AC и BC, можем найти косинус угла B.

Мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон, вычитаемой из удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(B)

10² = 10² + 7.37² - 2 * 10 * 7.37 * cos(B)

100 = 100 + 54.35 - 147.4 * cos(B)

147.4 * cos(B) = 154.35

cos(B) = 154.35 / 147.4

cos(B) ≈ 1.05

Ответ: cos B ≈ 1.05