В четырёхугольнике ABCD: AB=BC=5, ∠ABC=∠ADC=90∘, AD>CD. Известно, что площадь четырёхугольника равна 16. Найдите длину отрезка AD.

Объяснение:

Данный четырехугольник состоит из двух прямоугольных треугольников с общей гипотенузой АС и вписан в окружность (сумма противоположных углов равна 180°).

Площадь треугольника АВС=5*5/2=12,5 ед².

Площадь треугольника ACD=16-12,5=3,5 ед²

АС=√(5²+5²)=√50.

Обозначим AD - x, CD - y;

составляем систему уравнений:

ху/2=3,5

х²+у²=(√50)².

решая систему находим х=AD=7 ед, у=CD=1 ед.

ответ: 1(ед), 7(ед)

Объяснение: Рассмотрим ∆АВС. Он прямоугольный где АВ и ВС - катеты, а АС - гипотенуза. ∆АВС равнобедренный, а в равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета в √2 раз, поэтому АС=5√2. Найдём площадь ∆АВС по формуле: S=½×AB×BC=½×5²=½×25=12,5(ед²)

Если площадь ∆АВС=12,5(ед²), то площадь ∆АСД=16-12,5=3,5(ед²)

Рассмотрим ∆АСД. Он прямоугольный где АД и СД- катеты а АС гипотенуза. Пусть АД=х, а СД=у. Площадь ∆АСД также вычисляется по формуле:

S=½×АД×СД, тогда: ½×х×у=3,5. Составим второе уравнение используя теорему Пифагора: х²+у²=(5√2)². Решим систему уравнений:

½×ху=3,5

х²+у²=(5√2)

х=3,5÷½÷у

х²+у²=25×2

х=3,5×2÷у

х²+у²=50

х=7/у

х²+у²=50

Подставим значение х во второе уравнение:

(7/у)²+у²=50

49/у²+у²=50 |находим общий знаменатель и получим:

(49+у⁴)/у²=50 |перемножим числитель и знаменатель соседних дробей между собой крест накрест:

49+у⁴=50у²

у⁴-50у²+49=0 | пусть у²=у, тогда:

у²-50у+49=0

Д=2500-4×49=2500-196=2304

у1=(50-48)/2=2/2=1

у2=(50+48)/2=98/2=49

Итак: мы нашли 2 значения у, но нам не подходит значение у2=49, поскольку площадь четырёхугольника намного меньше, поэтому мы используем у1=1

Теперь подставим значение у в уравнение: х=7/у=7/1=7

Итак: одна сторона=1ед, вторая=7ед