. В Δ АВС с углом ∠С, равным 120°, проведены высоты СЕ и АD к сторонам АВ и ВС соответственно, АЕ = ВЕ = 7. Найдите ВD и AD.

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойство высот треугольника.

1) Воспользуемся свойством, согласно которому высота, проведенная к основанию, разбивает треугольник на два подобных треугольника. То есть треугольник АЕД подобен треугольнику ВЕС.

2) Мы знаем, что сторона АЕ равна стороне ВЕ, так как это дано в условии задачи. Пусть это значение равно 7.

3) Мы также знаем, что в подобных треугольниках коэффициент подобия равен отношению длин высот к основанию. В данном случае, высота СЕ разбивает сторону АВ на две части в соотношении 1:1.

4) Рассмотрим треугольник ВСЕ. Длина стороны ВС равна 2 * 7 = 14, так как это она есть сумма сторон АЕ и ЕС.

5) Для нахождения длины стороны АС, мы можем использовать теорему Пифагора. Ведь в треугольнике АСЕ прямоугольный треугольник.

(АС)² = (АЕ)² + (ЕС)²
(АС)² = 7² + 7²
(АС)² = 49 + 49
(АС)² = 98
АС = √98 = 7√2

6) Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике ВСА:
(ВС)² = (ВС)² + (АС)²
14² = (ВС)² + (7√2)²
196 = (ВС)² + 49 * 2
196 = (ВС)² + 98
(ВС)² = 98
ВС = √98 = 7√2

7) Из условия задачи, у нас есть угол ∠С, который равен 120°. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Значит, углы ∠А и ∠В составляют 180° - 120° = 60°.

8) Поскольку треугольник АВС является равносторонним, то все его стороны и углы равны. Значит, угол ∠В имеет такую же меру, как и угол ∠А, о котором мы уже знаем, что равен 60°.

9) Рассмотрим треугольник ВАЕ. Углы ∠В и ∠А составляют 60°. Остаточный угол ∠Е равен 180° - 60° - 60° = 60°.

10) Мы знаем, что треугольник ВАЕ равносторонний, так как все его углы равны. Значит, сторона ВА равна 7.

11) Теперь можем найти длину стороны ВD. Мы знаем, что ВD = ВС - DС. Из предыдущих вычислений, ВС равно 7√2, а сторона СD равна 7, так как треугольник АСД также равносторонний. Подставляем:
ВD = 7√2 - 7 = 7(√2 - 1)

12) Наконец, чтобы найти длину стороны АD, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике АСД:
(AD)² = (АС)² + (ДС)²
(AD)² = (7√2)² + 7²
(AD)² = 98 + 49
(AD)² = 147
AD = √147 = 7√3

Таким образом, мы найден длины сторон ВD и AD равны соответственно 7(√2 - 1) и 7√3.