Усеченный конус вписан в цилиндр. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиус цилиндра равен 16, высота равна 6 а радиус меньшего основания усеченного конуса в два раза меньше радиуса цилиндра.

O1B - радиус меньшего основания усеченного конуса.

OC- радиус большего основания усеченного конуса и радиус цилиндра.​

Чтобы найти площадь полной поверхности усеченного конуса, нам понадобятся радиусы оснований и образующая конуса.

По условию, радиус меньшего основания усеченного конуса (O1B) в два раза меньше радиуса цилиндра. Пусть радиус цилиндра будет обозначен как R. Тогда радиус меньшего основания усеченного конуса равен R/2.

Также известно, что радиус большего основания усеченного конуса (OC) равен радиусу цилиндра, то есть R.

Для начала, найдем образующую конуса. Образующая - это высота усеченного конуса, которая проходит по образующей цилиндра.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике формируется гипотенуза (образующая конуса), высота (усеченный конус) и радиус (разность радиусов оснований).

Мы знаем, что один катет равен R - R/2 = R/2, а второй катет равен высоте усеченного конуса, которую мы обозначим как h.

По теореме Пифагора:

h^2 = (R/2)^2 + 6^2

h^2 = R^2/4 + 36

h^2 = (R^2 + 144) / 4

h = sqrt((R^2 + 144) / 4)

Теперь у нас есть образующая конуса - h.

Чтобы найти площадь полной поверхности усеченного конуса, нам нужно найти площади оснований (большего и меньшего) и площадь боковой поверхности конуса.

Площадь меньшего основания усеченного конуса (S1):

S1 = π * (O1B)^2

S1 = π * (R/2)^2

S1 = π * R^2/4

Площадь большего основания усеченного конуса (S2) равна площади основания цилиндра:

S2 = π * OC^2

S2 = π * R^2

Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса (Sб).

Для этого нам нужно найти окружность, образующую боковую поверхность конуса. По условию, радиус этой окружности равен OC (также радиус цилиндра и большего основания усеченного конуса).

Окружность состоит из трех дуг - одной из большего основания, одной из меньшего основания, и окружности вокруг боковой поверхности конуса.

Длина дуги большего основания конуса (L1) равна длине окружности большего основания:

L1 = 2 * π * OC = 2 * π * R

Длина дуги меньшего основания конуса (L2) равна длине окружности меньшего основания:

L2 = 2 * π * O1B = 2 * π * R/2 = π * R

Остается найти длину окружности вокруг боковой поверхности конуса (Lб), которая будет отличаться от L1 и L2.

Сумма длин L1, L2 и Lб должна быть равна длине окружности цилиндра (длине окружности большего основания):

L1 + L2 + Lб = 2 * π * OC

2 * π * R + π * R + Lб = 2 * π * R

3 * π * R + Lб = 2 * π * R

Lб = 2 * π * R - 3 * π * R = -π * R

Lб = 2 * π * R - 3 * π * R = π * R

Таким образом, длина окружности вокруг боковой поверхности конуса равна π * R.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности конуса (Sб):

Sб = Lб * h

Sб = π * R * sqrt((R^2 + 144) / 4)

Итак, площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площадей меньшего и большего оснований, и площади боковой поверхности:

Sполная = S1 + S2 + Sб

Sполная = π * R^2/4 + π * R^2 + π * R * sqrt((R^2 + 144) / 4)

Sполная = π * (R^2/4 + R^2 + R * sqrt((R^2 + 144) / 4))

Полная площадь поверхности усеченного конуса равна π * (R^2/4 + R^2 + R * sqrt((R^2 + 144) / 4)).

Надеюсь, что объяснение было понятным и полным. Если у тебя возникли дополнительные вопросы, не стесняйся задавать их!