В равнобедренной трапеции высота образует с боковой стороной угол в 30°, меньшее основание равно 6 см, а боковая сторона – 10 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Добро пожаловать в класс, давайте рассмотрим ваш вопрос вместе.

В данном случае у нас есть равнобедренная трапеция, что означает, что две ее стороны - меньшее основание и большее основание - равны между собой. Это важно помнить при решении задачи.

По условию задачи мы знаем, что высота трапеции образует с боковой стороной угол в 30°. Это значит, что у нас есть равнобедренный треугольник, так как две стороны треугольника равны между собой и угол между ними равен 30°.

Для начала найдем высоту треугольника. Высота - это отрезок, опущенный из вершины треугольника к основанию и перпендикулярный ему. В нашем случае, это отрезок, который образует угол в 30° с боковой стороной.

Построим прямоугольный треугольник, где одним из катетов будет высота треугольника (опущенная линия) а другим катетом будет половина боковой стороны. Для этого делим боковую сторону пополам: 10 см / 2 = 5 см.

Теперь по теореме Пифагора определим длину высоты треугольника. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (пифагорова формула). В нашем случае гипотенуза - это высота треугольника, обозначим ее буквой "h", а катеты - половина боковой стороны (5 см) и другой катет (длина отрезка высоты треугольника). Таким образом:

(длина отрезка высоты треугольника)^2 + (5 см)^2 = (высота треугольника)^2.

Обозначим длину отрезка высоты треугольника буквой "x". Тогда получаем:

x^2 + 5^2 = h^2.

По условию задачи угол между высотой и основанием равен 30°. Так как у нас есть равнобедренный треугольник, каждый из двух углов при основании равен (180° - 30°)/2 = 75°.

Теперь мы можем использовать тригонометрию, а именно тангенс угла. Так как тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему, то:

tan(75°) = (высота треугольника) / (малое основание).

Подставим известные значения:

tan(75°) = h / 6.

Для нахождения значения тангенса 75° можно воспользоваться процессором научного калькулятора или таблицей тангенсов. Чтобы не усложнять рассуждения, предположим, что tan(75°) обозначает 1,73.

Теперь мы можем решить уравнение относительно "h":

1,73 = h / 6.

Умножим обе части уравнения на 6 и получим:

10,38 = h.

То есть высота треугольника равна 10,38 см.

Итак, мы нашли высоту треугольника, но вопрос касается средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины двух боковых сторон. Так как наша трапеция равнобедренная, то средняя линия будет перпендикулярна основаниям и равна половине суммы длин оснований.

Сначала найдем сумму длин оснований: 6 см + 10 см = 16 см.

Теперь разделим эту сумму на 2, чтобы найти длину средней линии:

16 см / 2 = 8 см.

Итак, средняя линия трапеции равна 8 см.

Надеюсь, это решение понятно для вас. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, задайте их. Я всегда готов помочь.