Укажите, какие из утверждений являются истинными. Выберите все возможные варианты ответов. Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:
Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна половине боковой стороны.
Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон этого треугольника.
Если диагонали трапеции перпендикулярны, то средняя линия трапеции равна боковой стороне этой трапеции.
Если средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований этой трапеции, то диагонали этой трапеции перпендикулярны.
Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Давай разберем каждое утверждение по порядку и проверим его истинность.

Утверждение 1: Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна половине боковой стороны.
Для проверки этого утверждения, нам нужно рассмотреть равнобедренный треугольник, у которого одна из боковых сторон равна другой боковой стороне, а средняя линия проведена параллельно основанию. На рисунке ниже мы видим такой треугольник ABC, где AD - средняя линия, и AB и AC - боковые стороны:

A
/ \
/ \
/____\
B C

Теперь, чтобы проверить утверждение, мы должны убедиться, что средняя линия AD действительно равна половине боковой стороны BC.

Для этого, нам нужно сравнить длины этих отрезков. Предположим, что BC = x, тогда BD и CD будут также равны x (поскольку треугольник ABC равнобедренный). Значит, средняя линия AD будет равна половине от суммы длин BD и CD.

AD = (BD + CD) / 2

AD = (x + x) / 2

AD = (2x) / 2

AD = x

Таким образом, мы видим, что средняя линия AD действительно равна половине боковой стороны BC. Поэтому утверждение 1 является истинным.

Утверждение 2: Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон этого треугольника.
Для проверки этого утверждения, нам нужно рассмотреть произвольный треугольник ABC и провести его среднюю линию DE:

A
/ \
/ \
/______\
B C
/ \ /
/ \ /
/_____\ /
D E

Теперь, чтобы проверить утверждение, мы должны убедиться, что средняя линия DE действительно параллельна одной из сторон AB, BC или AC.

Для этого, нам нужно рассмотреть соответствующие углы треугольника. Если мы рассмотрим угол A, то линия DE не будет параллельна стороне AC, потому что угол DEA и угол B равны (поскольку DE - средняя линия), а угол A и угол C разные. То же самое происходит и с углами B и C.

Таким образом, средняя линия треугольника не параллельна ни одной из его сторон. Поэтому утверждение 2 является ложным.

Утверждение 3: Если диагонали трапеции перпендикулярны, то средняя линия трапеции равна боковой стороне этой трапеции.
Для проверки этого утверждения, нам нужно рассмотреть трапецию ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD, а также среднюю линию EF:

A _______ B
| \ /
| \ /
|___\/
E F
/ \
/__________\
D C

Теперь, чтобы проверить утверждение, мы должны убедиться, что средняя линия EF действительно равна боковой стороне AB.

Для этого, нам нужно рассмотреть соответствующие отрезки и углы. Заметим, что EF - средняя линия, и середина AD отмечена точкой E, а середина BC отмечена точкой F. Значит, EB = FA. Вспомним также, что диагонали AC и BD перпендикулярны. Тогда у нас имеется пара прямоугольных треугольников: ABD и AEC. В этих треугольниках у нас имеется две параллельные стороны AE и EC и один угол A который равен углу D. Так как треугольники прямоугольные, у них еще одна пара углов будет равна. Значит, по свойству прямоугольных треугольников углы EAC и EBC также равны.

Таким образом, у нас есть два равных угла и сторона EB, которая равна стороне FA, соединяющая две середины оснований. Следовательно, утверждение 3 является истинным.

Утверждение 4: Если средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований этой трапеции, то диагонали этой трапеции перпендикулярны.
Для проверки этого утверждения, нам нужно рассмотреть трапецию ABCD с средней линией EF, которая равна отрезку, соединяющему середины оснований AD и BC:

A _______ B
| |
| |
| |
E _______ F
/ \
/___________\
D C

Теперь, чтобы проверить утверждение, мы должны убедиться, что диагонали AC и BD действительно перпендикулярны.

Для этого, нам нужно рассмотреть соответствующие углы. Заметим, что EF - средняя линия, и середина AD отмечена точкой E, а середина BC отмечена точкой F. Также у нас имеется две прямые линии AE и CF, которые соединяют соответственные вершины треугольников AED и CFB. Из свойства параллелограммов, которое говорит о том, что диагонали параллелограмма делятся пополам, также известно, что AE = CF.

Теперь, предположим, что AC и BD не перпендикулярны. Тогда в треугольниках AED и CFB у нас должны быть две пары равных углов. Однако, мы уже видели, что AE = CF.

Таким образом, мы видим, что у нас уже имеется по крайней мере одна пара равных углов и равных сторон, что противоречит предположению о том, что AC и BD не перпендикулярны.

Следовательно, если средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований, то диагонали этой трапеции перпендикулярны. Утверждение 4 является истинным.

Утверждение 5: Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Для проверки этого утверждения, нам нужно рассмотреть произвольный четырехугольник ABCD и его середины сторон E, F, G и H:

E _____ F
/ |
/ |
/ |
/______ /
H G
/ \

Теперь, чтобы проверить утверждение, мы должны убедиться, что эти середины образуют параллелограмм.

Для этого, нам нужно рассмотреть соответствующие отрезки и углы. Заметим, что EH и FG - это прямые линии, которые соединяют противоположные вершины четырехугольника. Также у нас имеется две пары параллельных сторон EH и FG, что следует из свойства серединных перпендикуляров. Наконец, у нас имеются две пары равных углов: углы EHC и FGB, а также углы EHG и FGC.

Таким образом, мы видим, что у нас уже имеется пара параллельных сторон и две пары равных углов, что является достаточными условиями для параллелограмма.

Следовательно, середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Утверждение 5 является истинным.

Итак, утверждения 1, 3, 4 и 5 являются истинными, а утверждение 2 ложно.