Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, высоты AM и CH пересекаются в точке O, угол при основании треугольника равен 70. Найдите угол AOC.

Чтобы найти угол AOC, нам понадобится некоторое предварительное знание о свойствах равнобедренных треугольников и свойствах пересекающихся прямых.

Свойства равнобедренного треугольника:
1) У равнобедренного треугольника две стороны равны, а две угла при основании равны.
2) Высота, опущенная из вершины на основание, является биссектрисой угла при основании и медианой.

По условию задачи треугольник ABC – равнобедренный и у нас есть две высоты, AM и CH, пересекающиеся в точке O. Так как у нас есть две высоты, то точка O, где они пересекаются, является точкой пересечения биссектрис двух углов.

Рассмотрим треугольник AMC. Так как этот треугольник равнобедренный, у нас есть следующие равенства углов:
∠M = ∠C

Теперь рассмотрим треугольник AOC. У него есть основание AC и высота OM. Также у этого треугольника есть угол при вершине О – это угол AOC, который нам нужно найти.

Заметим, что треугольник AMC и треугольник AOC оба прямоугольные, так как у них стороны перпендикулярны друг другу (AM перпендикулярна AC, а OM перпендикулярна OC). Также они имеют общий угол при вершине A.

Используя свойство пересекающихся прямых, мы можем сделать следующий вывод:
∠MOC = ∠MOA + ∠AOC

Так как в равнобедренном треугольнике угол M равен углу C, то:
∠MOC = ∠COA + ∠AOC

Теперь подставим это в равенство:
∠COA + ∠AOC = ∠MOA + ∠AOC

Вычтем угол AOC с обеих сторон уравнения:
∠COA = ∠MOA

Так как OM является высотой треугольника AMC, а OC является высотой треугольника AOC, то они равны между собой (по свойству высот треугольников).

Таким образом, получаем:
∠COA = ∠MOA = ∠C

Но мы помним, что ∠C – это угол при основании треугольника, и в задаче он равен 70 градусам.

Итак, мы получили, что угол AOC равен углу C, который равен 70 градусам.

Ответ: угол AOC равен 70 градусам.