Точки E и F - внутрение точки отрезка BD, причем BE = FD. Точки A и C лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BD так, что AF = CE и AB = CD. Докажите, что AB || CD.

Для доказательства того, что AB || CD в данной ситуации, нам понадобится использовать несколько свойств геометрии.

Доказательство:
1. Дано: Точки E и F - внутренние точки отрезка BD, причем BE = FD. Точки A и C лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BD так, что AF = CE и AB = CD.
2. Построим отрезки AE и CF. По условию задачи, мы знаем, что AF = CE. Заметим, что треугольники AFB и CED являются равнобедренными треугольниками, так как у них равны две стороны и два угла.
3. Поскольку треугольники AFB и CED равнобедренные, то у них два угла при основании должны быть равными. Обозначим эти углы как α и β.
4. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, можем записать: α + α + β + β = 180°.
5. Приведем выражение к более простому виду, объединяя одинаковые члены: 2α + 2β = 180°.
6. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от множителя: α + β = 90°.
7. Таким образом, получаем, что угол α + угол β равны 90°.
8. Рассмотрим треугольники BED и BFC. Заметим, что эти треугольники являются равнобедренными по тем же причинам, что и треугольники AFB и CED.
9. Следовательно, сумма углов α и β в треугольниках BED и BFC также будет равна 90°.
10. Заметим также, что треугольники BED и BFC являются подобными треугольниками, так как у них равны два угла (α и β).
11. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то третий угол в треугольниках BED и BFC также будет равен 180° - 90° - 90° = 0°.
12. Получается, что третий угол в обоих треугольниках BED и BFC равен 0°, что означает, что эти треугольники являются вырожденными.
13. Вырожденный треугольник - это треугольник, у которого одна из вершин совпадает с другой вершиной, и сторона между остальными двумя вершинами имеет нулевую длину.
14. Если треугольники BED и BFC являются вырожденными, то это означает, что отрезки BD и FC совпадают друг с другом, а значит, их продолжительности также равны.
15. Так как AB и CD - это отрезки, равенство их продолжительностей влечет за собой то, что AB || CD.

Таким образом, мы доказали, что AB || CD.